先定義什麼是自然數N，再用等價關係可以定義什麼是整數Z，有了整數Z後透過定義等價關係可以得到有理數Q，透過定義範數和柯西列，定義等價柯西列後可以得到實數R，實數R定義完了後定義集合的直積。R^3即3個R的直積稱做歐幾里得空間，它裡面的元素稱作向量，並且定義了數乘，加法，內積。如果我們不去刻意區分“點”和“向量”（如果區分，就叫仿射空間），那麼R^3中的元素也叫點。線即是一個R到R^3的連續對映f的像，這個對映如果還滿足f(t2)-f(t1)=k(t2-t1)就把它的像叫直線，其中k不等於0，這等價於說對映是嵌入。（這裡要求t取遍R）線段則是指一個實數上的閉區間對映到R^n中的像，並且滿足之前直線的條件。平面是R^2到R^3的對映g的像，滿足:g(u,v)-g(0,0)=k1u+k2v並且要求k1，k2不等於0。這等價於說對映是嵌入。(我偷懶了，沒有跟之前直線形式一致。但其實是一樣的）可以直接驗證滿足一切歐幾里得的公理。而這些定義並不依賴於任何幾何直觀。相當抽象。注意一下，只是說，這個理論滿足歐幾里得公理，並不能說明，滿足歐幾里得公理的幾何理論都是這種樣子。數學中有三大基本的結構，代數結構，拓撲結構，序結構。歐幾里得的公理中，他所說的基本物件有：點，線，角，麵點線面的歸屬關係，同一直線上的點之間的關係給出了序結構，連續性公理和平行公理實質上給出了拓撲結構。並且自然地也引入了實數這個代數結構來標定直線上的點（可以建立起一一對應），同時也可以量度角（任意角都可以建立起到單位圓上的點的對應，這是可以從公理得到的推論），既然點已可以由實數標定，就能量度線段的長度，而角卻不一樣。一般而言它需要我們度量“圓弧”的長，但我們可以迴避這一點，我們可以在單位圓上建立群結構，它是一個阿貝爾群，並且由S1的拓撲結構可以知道這個群必須商掉一個等價類，商完得到的群與“角”同構。由此可以說明，歐幾里得公理所說的這些數學結構，其實與R^3的結構同構（在之前所論述的意義下）。因此我們可以自然的去直接用R3來描述整個歐幾里得幾何。我個人對數學的理解並不是特別深入，水平所限，如有錯誤或者見解淺陋之處，請多指教。
先定義什麼是自然數N，再用等價關係可以定義什麼是整數Z，有了整數Z後透過定義等價關係可以得到有理數Q，透過定義範數和柯西列，定義等價柯西列後可以得到實數R，實數R定義完了後定義集合的直積。R^3即3個R的直積稱做歐幾里得空間，它裡面的元素稱作向量，並且定義了數乘，加法，內積。如果我們不去刻意區分“點”和“向量”（如果區分，就叫仿射空間），那麼R^3中的元素也叫點。線即是一個R到R^3的連續對映f的像，這個對映如果還滿足f(t2)-f(t1)=k(t2-t1)就把它的像叫直線，其中k不等於0，這等價於說對映是嵌入。（這裡要求t取遍R）線段則是指一個實數上的閉區間對映到R^n中的像，並且滿足之前直線的條件。平面是R^2到R^3的對映g的像，滿足:g(u,v)-g(0,0)=k1u+k2v並且要求k1，k2不等於0。這等價於說對映是嵌入。(我偷懶了，沒有跟之前直線形式一致。但其實是一樣的）可以直接驗證滿足一切歐幾里得的公理。而這些定義並不依賴於任何幾何直觀。相當抽象。注意一下，只是說，這個理論滿足歐幾里得公理，並不能說明，滿足歐幾里得公理的幾何理論都是這種樣子。數學中有三大基本的結構，代數結構，拓撲結構，序結構。歐幾里得的公理中，他所說的基本物件有：點，線，角，麵點線面的歸屬關係，同一直線上的點之間的關係給出了序結構，連續性公理和平行公理實質上給出了拓撲結構。並且自然地也引入了實數這個代數結構來標定直線上的點（可以建立起一一對應），同時也可以量度角（任意角都可以建立起到單位圓上的點的對應，這是可以從公理得到的推論），既然點已可以由實數標定，就能量度線段的長度，而角卻不一樣。一般而言它需要我們度量“圓弧”的長，但我們可以迴避這一點，我們可以在單位圓上建立群結構，它是一個阿貝爾群，並且由S1的拓撲結構可以知道這個群必須商掉一個等價類，商完得到的群與“角”同構。由此可以說明，歐幾里得公理所說的這些數學結構，其實與R^3的結構同構（在之前所論述的意義下）。因此我們可以自然的去直接用R3來描述整個歐幾里得幾何。我個人對數學的理解並不是特別深入，水平所限，如有錯誤或者見解淺陋之處，請多指教。