若求得：y"-p(x)*y"-q(x)*y=0的兩個線性無關的特u(x),v(x),則
非齊次方程：y"-p(x)*y"-q(x)*y=f(x)的通解公式為：
y=C1*u(x)+C2*v(x)+∫[u(s)*v(x)-u(x)*v(s)]/[u(s)*v"(x)-v(s)*u"(x)]*f(s)ds.
而如果你得到的是：y"-p(x)*y"-q(x)*y=f(x)兩個線性無關的特解,則通解為：
y=C1*u(x)+C2*v(x).
一般,對於二階非齊次線性微分方程,都是採取先求齊次部分的兩個線性無關的解,然後再求整個非齊次部分的通解.舉個例子如下：
y"-2y"-3y=3x+1的齊次部分y"-2y"-3y=0對應的特徵方程為：
x^2-2x-3=0,解為x=-1或3,即基本解組為：u(x)=e^(-x),v(x)=e^(3x).
非齊次方程：y"-2y"-3y=3x+1=f(x)的通解公式為：
y=C1*u(x)+C2*v(x)+∫[u(s)*v(x)-u(x)*v(s)]/[u(s)*v"(x)-v(s)*u"(x)]*f(s)ds
將u(x),v(x),f(x)代入上式計算得到：
y=C1*e^(-x)+C2*e^(3x)+1/3-x.
若求得：y"-p(x)*y"-q(x)*y=0的兩個線性無關的特u(x),v(x),則
非齊次方程：y"-p(x)*y"-q(x)*y=f(x)的通解公式為：
y=C1*u(x)+C2*v(x)+∫[u(s)*v(x)-u(x)*v(s)]/[u(s)*v"(x)-v(s)*u"(x)]*f(s)ds.
而如果你得到的是：y"-p(x)*y"-q(x)*y=f(x)兩個線性無關的特解,則通解為：
y=C1*u(x)+C2*v(x).
一般,對於二階非齊次線性微分方程,都是採取先求齊次部分的兩個線性無關的解,然後再求整個非齊次部分的通解.舉個例子如下：
y"-2y"-3y=3x+1的齊次部分y"-2y"-3y=0對應的特徵方程為：
x^2-2x-3=0,解為x=-1或3,即基本解組為：u(x)=e^(-x),v(x)=e^(3x).
非齊次方程：y"-2y"-3y=3x+1=f(x)的通解公式為：
y=C1*u(x)+C2*v(x)+∫[u(s)*v(x)-u(x)*v(s)]/[u(s)*v"(x)-v(s)*u"(x)]*f(s)ds
將u(x),v(x),f(x)代入上式計算得到：
y=C1*e^(-x)+C2*e^(3x)+1/3-x.