對數函式對於真數的規定不是由於其定義域而給出的，而是出於對“指數函式”的形式的限制。

在僅考慮實數域上的指數函式時，底數都是正非1實數，所以考慮到對數函式真數的意義，真數的限制條件：正非1實數也就確定下來了。

那麼為什麼實數域上的指數函式的底數都限制“正非1”這個條件上呢？

首先，1做底數的情況是trivial的，沒有研究價值。

其次，如果考慮負實數做底數，那麼這個指數函式將呈現出許多複雜的特性：

最容易看出的情況就是，在每個整數點的取值搖擺不定，而這僅僅是次要的，我們事實上並不會因為這種小情況而放棄研究負底數情況。

最麻煩也最難解決的情況就是出在許多非整數的有理數點，以及全部的無理數點的取值。既然研究實數域上的函式，那麼我們最理想的狀況就是把實數域對映到實數域。但是，如果出現了負底數，那麼就很容易且無法避免地出現在實數域上解決不了的問題，比如-1的平方根。為了解決這種問題，就必須引入複數，而這與我們從實數域對映到實數域上的初衷是相悖的，同時，複數的引入也使得這個問題不能在由x決定y的座標系來描繪了，而需要兩個複平面來共同描述。

進一步，底數的無理數次冪都是由有理數列逼近而來的，而上述問題會把無理數次冪的問題難度無限放大。

再進許多步，求導，積分，以及其他運算元的作用都會因為出現復變數而使得這個函式對映變得極其複雜，甚至不能再簡單地用實函數理論解決。

而限制了底數為正非1，那麼這幾個問題就都得到了完美的解決，並且很意外地還得到了許多工整的性質。那我們為什麼不用呢？