關於方程的一種一般理論。數學裡到處要解方程,諸如代數方程、函式方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成??(x)=x的形狀，這裡x 是某個適當的空間Χ中的點，??是從Χ到Χ的一個對映或運動，把每一點x移到點??(x)。方程??(x)=x的解恰好就是在??這個運動之下被留在原地不動的點,故稱不動點。於是,解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數、性質與求法。研究方法主要是拓撲的和泛函分析的（見非線性運算元）。
常見的不動點定理 壓縮對映原理(C.(C.-)??.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設X是一個完備的度量空間，對映??:Χ→Χ 把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d（??（x），??(y))≤λd(x,y)，這裡λ是一個小於1的常數，那麼??必有而且只有一個不動點,而且從Χ的任何點x0出發作出序列，這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎。由於分析學的需要，這定理已被推廣到非擴充套件對映、機率度量空間、對映族、集值對映等許多方面。
布勞威爾不動點定理(1910):設Χ是歐氏空間中的緊凸集,那麼Χ到自身的每個連續對映都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復係數的代數方程一定有複數解。把布勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值對映推廣到集值對映，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。
不動點指數 不動點的個數有兩種數法。代數上通常說n次復多項式有n個復根，是把一個k重根算作k個根的;如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於對映在不動點附近的區域性幾何性質。一個對映的所有不動點的指數的總和，稱為這對映的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。萊夫謝茨不動點定理:設Χ是緊多面體,??:Χ→Χ是對映,那麼??的不動點代數個數等於??的萊夫謝茨數L(??)，它是一個容易計算的同倫不變數，可以利用同調群以簡單的公式寫出。當L(??)≠0時，與??同倫的每個對映都至少有一個不動點。這個定理既發展了布勞威爾定理，也發展了關於向量場奇點指數和等於流形的尤拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾引數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。
J.尼爾斯1927年發現，一個對映?? 的全體不動點可以自然地分成若干個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變數。指數和不為0的不動點類的個數,稱為這對映的尼爾斯數N(??)。只要Χ是維數大於2的流形，N(??)恰是與 ??同倫的對映的最少不動點數。這就提供了研究方程的解的實際個數（而不只是代數個數）的一種方法。
萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型運算元與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。 不動點的計算 上述各種不動點定理，除壓縮對映原理外，都未給出不動點的具體求法。由於應用上的需要，不動點演算法的研究正在蓬勃發展，以求把拓撲的思路落實為快速、實用的計算方法。
關於方程的一種一般理論。數學裡到處要解方程,諸如代數方程、函式方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成??(x)=x的形狀，這裡x 是某個適當的空間Χ中的點，??是從Χ到Χ的一個對映或運動，把每一點x移到點??(x)。方程??(x)=x的解恰好就是在??這個運動之下被留在原地不動的點,故稱不動點。於是,解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數、性質與求法。研究方法主要是拓撲的和泛函分析的（見非線性運算元）。
常見的不動點定理 壓縮對映原理(C.(C.-)??.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設X是一個完備的度量空間，對映??:Χ→Χ 把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d（??（x），??(y))≤λd(x,y)，這裡λ是一個小於1的常數，那麼??必有而且只有一個不動點,而且從Χ的任何點x0出發作出序列，這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎。由於分析學的需要，這定理已被推廣到非擴充套件對映、機率度量空間、對映族、集值對映等許多方面。
布勞威爾不動點定理(1910):設Χ是歐氏空間中的緊凸集,那麼Χ到自身的每個連續對映都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復係數的代數方程一定有複數解。把布勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值對映推廣到集值對映，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。
不動點指數 不動點的個數有兩種數法。代數上通常說n次復多項式有n個復根，是把一個k重根算作k個根的;如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於對映在不動點附近的區域性幾何性質。一個對映的所有不動點的指數的總和，稱為這對映的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。萊夫謝茨不動點定理:設Χ是緊多面體,??:Χ→Χ是對映,那麼??的不動點代數個數等於??的萊夫謝茨數L(??)，它是一個容易計算的同倫不變數，可以利用同調群以簡單的公式寫出。當L(??)≠0時，與??同倫的每個對映都至少有一個不動點。這個定理既發展了布勞威爾定理，也發展了關於向量場奇點指數和等於流形的尤拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾引數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。
J.尼爾斯1927年發現，一個對映?? 的全體不動點可以自然地分成若干個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變數。指數和不為0的不動點類的個數,稱為這對映的尼爾斯數N(??)。只要Χ是維數大於2的流形，N(??)恰是與 ??同倫的對映的最少不動點數。這就提供了研究方程的解的實際個數（而不只是代數個數）的一種方法。
萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型運算元與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。 不動點的計算 上述各種不動點定理，除壓縮對映原理外，都未給出不動點的具體求法。由於應用上的需要，不動點演算法的研究正在蓬勃發展，以求把拓撲的思路落實為快速、實用的計算方法。