學數學競賽的高中生應該都會接觸到一個東西：藉助等式證明不等式

其實原理很簡單：例如，如果有等式 ，又已知 ，則

下面以著名的柯西不等式為例：

對 個實數 ， ， ， 和 ， ， ， ，有以下不等式成立： ，等號成立時

當 時，可以得到該不等式的二維形式：

證明該不等式有很多方法，比較著名的有二次函式法、向量法等等

在這裡講一個相對來說“暴力”的證明方法，拉格朗日恆等式：

拉格朗日恆等式是18世紀由法國數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日提出的數學恆等式。

拉格朗日恆等式的內容如下：對 個實數 ， ， ， ，有以下等式成立：

事實上，該恆等式中，

，故

注意到對 ，

於是

即 ，即為柯西不等式，取等時

即對 ， ，即

這種證明方法可以推廣到許多不等式中，其中也涉及到證明不等式的配方法（即SOS法）

事實上，等式可以看作是“最強”的不等式，這種思想方法非常重要

並且在不等式的證明當中，遵循“強制弱”（才不是化學呢）的原則

因此可由最強的不等式，也就是等式，“制”（證明）出許多不等式

三維形式的柯西不等式的證明如下：

兩邊開平方得：

柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。

柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。

擴充套件資料：

1、向量形式的柯西不等式：

2、向量形式推廣：

3、機率論形式的柯西不等式：

4、積分形式的柯西不等式：