一個不難的證明，但是很簡潔——證明只有5種正多面體。頂點數V，面數F，稜數E設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點有m條稜。稜數E應是面數F與n的積的一半（每兩面共用一條稜），即nF=2E -------------- ①同時，E應是頂點數V與m的積的一半，即mV=2E -------------- ②由①、②，得F=2E/n, V=2E/m,代入尤拉公式V+F-E=2，得 2E/m+2E/n-E=2整理後，得1/m+1/n=1/2+1/E.由於E是正整數，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2 -------------- ③因為m,n不能同時大於3，另一方面，由於m和n的意義，m≥3且n≥3，因此m和n至少有一個等於3。
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5同理n=3，m也只能是3，4，5所以有以下幾種情況：m=3 n=3 正四面體m=3 n=4 正八面體m=3 n=5 正二十面體m=5 n=3 正十二面體m=4 n=3 正六面體
再來一個～
找出所有使得 2^n – 1 能被 7 整除的正整數 n 。
由於 2^n 的二進位制表達為 1000…00 （n 個 0），因此 2^n – 1 的二進位制表達為 111…11 （n 個 1）。而 7 的二進位制表達是 111 ，要想讓它整除 n 個 1 ，顯然 n 必須是也只能是 3 的倍數。
2 的 5 倍是 10 ， 3 的 37 倍是 111 ， 4 的 25 倍是 100 。是否對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它全由數字 0 和 1 構成？
考慮數列 1, 11, 111, 1111, … 。它們除以 n 的餘數只有 n 種可能，因此前 n+1 項中一定有兩項，它們除以 n 的餘數相同。這兩項的差即滿足條件。
一個不難的證明，但是很簡潔——證明只有5種正多面體。頂點數V，面數F，稜數E設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點有m條稜。稜數E應是面數F與n的積的一半（每兩面共用一條稜），即nF=2E -------------- ①同時，E應是頂點數V與m的積的一半，即mV=2E -------------- ②由①、②，得F=2E/n, V=2E/m,代入尤拉公式V+F-E=2，得 2E/m+2E/n-E=2整理後，得1/m+1/n=1/2+1/E.由於E是正整數，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2 -------------- ③因為m,n不能同時大於3，另一方面，由於m和n的意義，m≥3且n≥3，因此m和n至少有一個等於3。
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5同理n=3，m也只能是3，4，5所以有以下幾種情況：m=3 n=3 正四面體m=3 n=4 正八面體m=3 n=5 正二十面體m=5 n=3 正十二面體m=4 n=3 正六面體
再來一個～
找出所有使得 2^n – 1 能被 7 整除的正整數 n 。
由於 2^n 的二進位制表達為 1000…00 （n 個 0），因此 2^n – 1 的二進位制表達為 111…11 （n 個 1）。而 7 的二進位制表達是 111 ，要想讓它整除 n 個 1 ，顯然 n 必須是也只能是 3 的倍數。
2 的 5 倍是 10 ， 3 的 37 倍是 111 ， 4 的 25 倍是 100 。是否對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它全由數字 0 和 1 構成？
考慮數列 1, 11, 111, 1111, … 。它們除以 n 的餘數只有 n 種可能，因此前 n+1 項中一定有兩項，它們除以 n 的餘數相同。這兩項的差即滿足條件。