在泛函分析中，卷積(卷積)、旋積或摺積(英語：Convolution)是透過兩個函式f 和g 生成第三個函式的一種數學運算元，表徵函式f 與經過翻轉和平移與g 的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函式看作區間的指示函式，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。
簡單介紹
卷積是分析數學中一種重要的運算。設: f(x),g(x)是R1上的兩個可積函式，作積分：
可以證明，關於幾乎所有的 ，上述積分是存在的。這樣，隨著 x 的不同取值，這個積分就定義了一個新函式h(x)，稱為函式f 與g 的卷積，記為h(x)＝(f*g)(x)。容易驗證，(f * g)(x) ＝ (g * f)(x)，並且(f * g)(x) 仍為可積函式。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。
卷積與傅立葉變換有著密切的關係。利用一點性質，即兩函式的傅立葉變換的乘積等於它們卷積後的傅立葉變換，能使傅立葉分析中許多問題的處理得到簡化。
由卷積得到的函式f*g 一般要比f 和g 都光滑。特別當g 為具有緊支集的光滑函式，f 為區域性可積時，它們的卷積f * g 也是光滑函式。利用這一性質，對於任意的可積函式f，都可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函式列fs，這種方法稱為函式的光滑化或正則化。
卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函式上去。
卷積在工程和數學上都有很多應用：
統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。 機率論中，兩個統計獨立變數X與Y的和的機率密度函式是X與Y的機率密度函式的卷積。 聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函式的卷積表示。 電子工程與訊號處理中，任一個線性系統的輸出都可以透過將輸入訊號與系統函式（系統的衝激響應）做卷積獲得。 物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。
卷積是一種線性運算,影象處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用於影象濾波。castlman的書對卷積講得很詳細。
高斯變換就是用高斯函式對影象進行卷積。高斯運算元可以直接從離散高斯函式得到：
for(i=0; i<N; i++)
{
for(j=0; j<N; j++)
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum += g[i*N+j];
}
再除以 sum 得到歸一化運算元
N是濾波器的大小，delta自選
首先，再提到卷積之前，必須提到卷積出現的背景。卷積是在訊號與線性系統的基礎上或背景中出現的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數學意義和積分（或求和，離散情況下）。
因此，實際上，都是要根據我們需要待處理的訊號形式，來設計所謂的系統傳遞函式，那麼這個系統的傳遞函式和輸入訊號，在數學上的形式就是所謂的卷積關係。
卷積關係最重要的一種情況，就是在訊號與線性系統或數字訊號處理 中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速演算法，實現有效的計算，節省運算代價。
在泛函分析中，卷積(卷積)、旋積或摺積(英語：Convolution)是透過兩個函式f 和g 生成第三個函式的一種數學運算元，表徵函式f 與經過翻轉和平移與g 的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函式看作區間的指示函式，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。
簡單介紹
卷積是分析數學中一種重要的運算。設: f(x),g(x)是R1上的兩個可積函式，作積分：
可以證明，關於幾乎所有的 ，上述積分是存在的。這樣，隨著 x 的不同取值，這個積分就定義了一個新函式h(x)，稱為函式f 與g 的卷積，記為h(x)＝(f*g)(x)。容易驗證，(f * g)(x) ＝ (g * f)(x)，並且(f * g)(x) 仍為可積函式。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。
卷積與傅立葉變換有著密切的關係。利用一點性質，即兩函式的傅立葉變換的乘積等於它們卷積後的傅立葉變換，能使傅立葉分析中許多問題的處理得到簡化。
由卷積得到的函式f*g 一般要比f 和g 都光滑。特別當g 為具有緊支集的光滑函式，f 為區域性可積時，它們的卷積f * g 也是光滑函式。利用這一性質，對於任意的可積函式f，都可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函式列fs，這種方法稱為函式的光滑化或正則化。
卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函式上去。
卷積在工程和數學上都有很多應用：
統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。 機率論中，兩個統計獨立變數X與Y的和的機率密度函式是X與Y的機率密度函式的卷積。 聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函式的卷積表示。 電子工程與訊號處理中，任一個線性系統的輸出都可以透過將輸入訊號與系統函式（系統的衝激響應）做卷積獲得。 物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。
卷積是一種線性運算,影象處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用於影象濾波。castlman的書對卷積講得很詳細。
高斯變換就是用高斯函式對影象進行卷積。高斯運算元可以直接從離散高斯函式得到：
for(i=0; i<N; i++)
{
for(j=0; j<N; j++)
{
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum += g[i*N+j];
}
}
再除以 sum 得到歸一化運算元
N是濾波器的大小，delta自選
首先，再提到卷積之前，必須提到卷積出現的背景。卷積是在訊號與線性系統的基礎上或背景中出現的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數學意義和積分（或求和，離散情況下）。
因此，實際上，都是要根據我們需要待處理的訊號形式，來設計所謂的系統傳遞函式，那麼這個系統的傳遞函式和輸入訊號，在數學上的形式就是所謂的卷積關係。
卷積關係最重要的一種情況，就是在訊號與線性系統或數字訊號處理 中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速演算法，實現有效的計算，節省運算代價。