1²+2²+3²+····+n²=n（n+1)（2n+1）/6
代數法：（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1等式兩邊相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)所以：1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
幾何法：想象一個有圓圈構成的正三角形，第一行1個圈，圈內的數字為1；第二行2個圈，圈內的數字都為2；以此類推第n行n個圈，圈內的數字都為n。我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和，設這個數為r。
下面將這個三角形順時針旋轉60度得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1。而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+....+n=n(n+1)/2於是 3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+····+n²=n（n+1)（2n+1）/6
證明方法一：代數法：（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1等式兩邊相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)所以：1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
證明方法二：幾何法：想象一個有圓圈構成的正三角形，第一行1個圈，圈內的數字為1；第二行2個圈，圈內的數字都為2；以此類推第n行n個圈，圈內的數字都為n。我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和，設這個數為r。
下面將這個三角形順時針旋轉60度得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1。而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+....+n=n(n+1)/2於是 3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6