費馬大定律 大約在1637年，費馬在閱讀丟番圖著《算術》一書的拉丁文譯本時，讀到第Ⅱ卷第八命題"將一個平方和分為兩個平方數"，在書的頁邊空白處寫了一段話，意思是說"將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於2次冪分成兩個同次的冪，這是不可能的，關於此，我確信已發現了一種奇妙的證法，可惜這裡的空白太小，寫不下"。用現代數學語言敘述，費馬猜想是說，n＞2時，方程
xn＋yn＝zn
沒有正整數解。
費馬猜想又常稱費馬大定理，要證費馬猜想是對的，只需證明
x4＋y4＝z4
及p是奇素數時xp＋yp＝zp均無正整數解。費馬說，他用無窮遞降法證明了前者。1676年，貝西也對n＝4給出了證明，尤拉對n＝3，4都給出了證明，此外勒讓得與狄利克雷對n＝5給出了證明，19世紀中期，庫默對n＜100（除37，59，67外）的奇素數給出了證明。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾遺言，將10萬馬克獎給第一個證明費馬大定理的人。從費馬提出這一猜想至今，已過去三個半世紀，問題仍未解決。近年來主要結果有：
（1）1977年瓦格斯塔夫證明了，對於每一個素數p＜125000，費馬定理都是對的。
（2）1983年，伐爾廷斯證明了1922年英國數學家莫德爾提出的猜想：如果嘐（x，y）為有理多項式，代數曲線嘐（x，y）＝0的虧格≥2，則嘐（x，y）＝0至多隻有有限多個有理解。這保證，n≥4時至多隻有有限個n使xn＋yn＝zn有整數解。
（3）1985年，愛德列曼和海斯·布朗用解析數論的方法，證明了存在無窮多個素數p，使不存在整數x，y，z，滿足xp＋yp＝zp成立，{p不整除xyz}。
（4）1993年6月23日英國數學家K．WILER在劍橋大學牛頓數學研究所做題為"模形式，橢圓曲線和伽羅瓦表示"的學術報告。最後宣佈"我證明了費馬猜想"。有關專家和權威人士的初步反映大都持肯定態度。
*形如22n＋1的正整數稱費馬數，記為En，其中E0＝3，嘐1＝5，嘐2＝17，嘐3＝257，E4＝65537都是素數，1640年費馬曾猜想，一切費馬數都是素數，但1732年尤拉指出 641l E5： E5＝641×6700417，從而否定了費馬的這個猜想。但究竟有多少費馬數是素數，是有限個還是無限個？是否有無限多個費馬數是合數？這些問題都是沒有解決的難題。已經知道了48個費馬數不是素數，嘐17究竟是素數還是合數尚不得而知。費馬數與尺規定作圖問題有關，高斯證明了，若En是素數，則正En邊形能用尺規作出。
費馬大定律 大約在1637年，費馬在閱讀丟番圖著《算術》一書的拉丁文譯本時，讀到第Ⅱ卷第八命題"將一個平方和分為兩個平方數"，在書的頁邊空白處寫了一段話，意思是說"將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於2次冪分成兩個同次的冪，這是不可能的，關於此，我確信已發現了一種奇妙的證法，可惜這裡的空白太小，寫不下"。用現代數學語言敘述，費馬猜想是說，n＞2時，方程
xn＋yn＝zn
沒有正整數解。
費馬猜想又常稱費馬大定理，要證費馬猜想是對的，只需證明
x4＋y4＝z4
及p是奇素數時xp＋yp＝zp均無正整數解。費馬說，他用無窮遞降法證明了前者。1676年，貝西也對n＝4給出了證明，尤拉對n＝3，4都給出了證明，此外勒讓得與狄利克雷對n＝5給出了證明，19世紀中期，庫默對n＜100（除37，59，67外）的奇素數給出了證明。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾遺言，將10萬馬克獎給第一個證明費馬大定理的人。從費馬提出這一猜想至今，已過去三個半世紀，問題仍未解決。近年來主要結果有：
（1）1977年瓦格斯塔夫證明了，對於每一個素數p＜125000，費馬定理都是對的。
（2）1983年，伐爾廷斯證明了1922年英國數學家莫德爾提出的猜想：如果嘐（x，y）為有理多項式，代數曲線嘐（x，y）＝0的虧格≥2，則嘐（x，y）＝0至多隻有有限多個有理解。這保證，n≥4時至多隻有有限個n使xn＋yn＝zn有整數解。
（3）1985年，愛德列曼和海斯·布朗用解析數論的方法，證明了存在無窮多個素數p，使不存在整數x，y，z，滿足xp＋yp＝zp成立，{p不整除xyz}。
（4）1993年6月23日英國數學家K．WILER在劍橋大學牛頓數學研究所做題為"模形式，橢圓曲線和伽羅瓦表示"的學術報告。最後宣佈"我證明了費馬猜想"。有關專家和權威人士的初步反映大都持肯定態度。
*形如22n＋1的正整數稱費馬數，記為En，其中E0＝3，嘐1＝5，嘐2＝17，嘐3＝257，E4＝65537都是素數，1640年費馬曾猜想，一切費馬數都是素數，但1732年尤拉指出 641l E5： E5＝641×6700417，從而否定了費馬的這個猜想。但究竟有多少費馬數是素數，是有限個還是無限個？是否有無限多個費馬數是合數？這些問題都是沒有解決的難題。已經知道了48個費馬數不是素數，嘐17究竟是素數還是合數尚不得而知。費馬數與尺規定作圖問題有關，高斯證明了，若En是素數，則正En邊形能用尺規作出。