從數學史的角度來說，抽象代數這個學科分支是作為現代數學的起源之一而存在的。但為了更好的討論抽象代數，我們現合規的討論一下代數學，這個數學三大分支中的一支。在丟番圖時代開始（16世紀60年代左右）代數學中最重要的一個問題是求解代數方程的根，這個問題非常有趣，譬如這些工作中有費爾馬、笛卡爾的工作，笛卡爾更是在《方法論》和《幾何學》中初步的建立了解析幾何，甚至也給出了一個代數基本定理的初始版本/猜想。

你渴望力量麼？

這個時候，我們先回到之前所說的，求解代數方程根的問題，結合代數基本定理來說，我們可以斷定，任何一個n次多項式方程 [公式] ，總恰好有n個複數根。（略去證明，這個可以找高等代數的教材複習一下）但這時候有一個問題是，我們怎麼去找根？

插入一個做數學分析題的時候常用的套路，我們總是可以先證明存在然後去求解，現在我們知道了有解，那麼問題來了，我們怎麼求解？

尤拉、範德蒙德、華林等等都做過非常多的嘗試，但最重要的三個工作出現在了拉格朗日、阿貝爾和高斯的工作。

我們常常見面，我的中值定理你可還熟悉？

1771年，拉格朗日發表了《對方程的代數解法思考》嘗試去分析方程根的一般原理，透過二次方程和三次方程確定了四次方程的解析解。同時，對五次以及五次以上的方程的解法提出了暢想。而隨後他的學生Ruffini懷疑這種做法的可行性。但真正的突破是在19世紀20年代的時候完成。即，阿貝爾證明的不能用根式解五次方程，換句話說，代數方法不可行。但是問題來了，有沒有特殊的方程可以那麼做呢？

朋友，群論來了解一下。

這個時候，高斯橫空出世，高斯在這個問題上的突破在於，花式利用拉格朗日的方法，並自己分析出了尺規作圖17邊形的方法。而且發展出了一個重要的理論，模算數，而模算數後面提供了迴圈群的本源元素（生成元）的重要思想和理論依據。

我的分佈是正態，我不是正太，抬走，下一個

而在他們的工作之後，時間到了1860年，另一位代數學的巨人出現了——伽羅瓦。可以那麼說，伽羅瓦設計了一個理論程式，他可以用於判斷是否這個多項式存在根的顯式演算法。這個時候，代數學的兩個基礎概念，群和域被正式的引入了數學大廈中，當然那個時候的群論也是不完整的，伽羅瓦引入的是置換群。在這個問題上，伽羅瓦開始關心的是群的結構，並創造性地完成了這個研究。

確認過眼神，這個人學不懂我的理論。

未來需要補充的，關於伽羅瓦的工作簡述。

在之後很多工作就圍繞著逐步加強劉維爾、伽羅瓦等人的工作展開了，而到了近現代，大家的工作就開始討論“數”這個東西到底是什麼玩意。哈密頓、凱萊等人做了類似於八元數的工作後，我們更多的關注到了，結合律、交換律等我們平時習以為常的東西，實際上，是非常優秀的性質，而這些東西，包括單位元、逆元最終組成了一種自立的數學結構，而這種結構，我們現在就稱呼他為代數，更進一步，也能討論到了抽象代數。1900年後，那麼就大部分在做群、環、域結構的認知，分類的認知，後續公理化的內容就不在敘述。

當然，在研究一些非歐幾何的問題的時候，就開始使用了一些對稱操作的概念。和莫比烏斯相關的另外一個我們現在用的比較多的概念是莫比烏斯環，就是把一個紙條連成環的過程中翻一下，這樣的一個環和正常的環比起來就不再有 A、B 面了。這個概念在拓撲上比較有用;

現在開始說說應用吧，從知乎的群體來說，其實最早應該說的就是計算機方面的，尤其是程式設計方面的應用。

學以致用，將其應用於專業：近世代數課程不但在數學的各個分支有很多應用，而且隨著計算機技術的發展，它在通訊理論、計算機科學、系統工程等許多領域中也有廣泛的應用。所學的東西一定會派上用場。學以致用才是學習的關鍵所在。