沒有ε-N語言和ε-δ語言，在當時就沒法嚴密刻畫極限.
極限是微積分的基礎，連續性、微分、積分、級數等概念都要建立在其上.
不嚴密定義極限，就意味著很多結論不可靠，微積分就變成了一種僅僅是形式上的變換.
另外還有一點很重要，沒有ε-N語言和ε-δ語言，有些其他的微積分裡的必要的概念都沒辦法定義.
例如函式的一致連續，函式項級數、含參量積分的一致收斂，函式的可積性等概念的定義必須要用到ε-語言，難以想象能像極限那樣，用“變數無限地趨向於某一數值”之類的籠統說法糊弄過去.
而缺少這些，在處理很多分析學問題時，往往會犯下一些想當然的錯誤.（比如在不該交換求極限次序時錯誤地交換求極限次序）
其實微積分的雛形的誕生比很多人想象的還早，早期的樸素極限思想在古希臘的歐多克斯、亞里士多德、歐幾里德、阿基米德那裡就存在了.
16世紀以來，開普勒給出了 的積分
Cavalieri給出了 的積分
費馬給出了導數思想的雛形，後來的費馬引理就是他這一思想的體現
Wallis完成了 的積分
帕斯卡注意到很小的弧與切線可以互相替代，並在證明體積公式時略去高階無窮小
牛頓的老師Barrow給出了求切線的方法
在這些人的工作的基礎之上，牛頓和萊布尼茨獨立建立了微積分學.
、 、 這套符號就是萊布尼茨建立的，沿用至今.
至此為止，微積分都是建立在很不嚴密的基礎上的，“無窮小量”、dx這些概念都很模糊，時而是0時而又不是.有很多人試圖修補這種缺陷，麥克勞林試圖從瞬時速度方面解釋，泰勒則試圖用差分法解釋，顯然路子都不對.
這一階段有很多人批判、質疑過微積分理論，最具代表性的就是貝克萊主教和馬克思.
馬克思曾經寫過幾篇質疑、批判微積分的文章，其中內容如今看來顯然非常可笑，但並非不可理解.馬克思為什麼會有疑問？正是因為當時他還沒讀到過柯西等人的著作，不知道魏爾斯特拉斯建立的的ε-δ語言，因此他批判的其實還是牛頓那套不嚴密的微積分.
想要避免這類哲學家對數學的指點怎麼辦？只有將極限的概念真正嚴密化.
達朗貝爾將微積分的基礎歸為極限，並將極限解釋為“一個變數趨近於一個固定量，趨近的程度小於任何給定的量”，這已經有用ε-語言描繪極限的影子了.
之後，波爾查諾、阿貝爾、柯西等人是真正開始把分析學嚴密化的.
柯西這麼定義極限：“若代表某變數的一串數值無限地趨向於某一數值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串數值的極限”，並把導數定義為 的極限，把定積分定義為一個和式極限.
離最後一步真正的嚴密化，就差一點點了.
魏爾斯特拉斯邁出了最後一步，他反對“變數無限地趨向於某一數值”這一類籠統的說法，他認為應該描述成變數 在區間 取值時， 在區間 上取值，而這個正數 可以任意小.
這樣，最終得到現在通用的邏輯嚴密的函式極限的ε-δ定義：
數列極限的ε-N定義，以及其他形式的函式、數列極限與之類似，這裡不一一列舉，另外這個定義能夠很容易推廣到一般的度量空間上.
當然，由於這一類用ε-N語言、ε-δ語言定義的極限離不開一個概念——距離，所以它也只適用於度量空間中的數列極限，以及度量空間之間對映的函式極限.
再往後，德國數學家黎曼利用魏爾斯特拉斯的這套ε-語言，透過黎曼和的方式，給出了黎曼積分的嚴密定義
今天的我們當然可以繞開距離的概念，直接用開集、鄰域、濾子等更抽象的概念去定義極限，而這都依賴於之後拓撲學的發展，在柯西、魏爾斯特拉斯那個時代顯然是不行的.
參考資料：
華東師範大學數學系《數學分析》
G.肖蓋《拓撲學教程》
沒有ε-N語言和ε-δ語言，在當時就沒法嚴密刻畫極限.
極限是微積分的基礎，連續性、微分、積分、級數等概念都要建立在其上.
不嚴密定義極限，就意味著很多結論不可靠，微積分就變成了一種僅僅是形式上的變換.
另外還有一點很重要，沒有ε-N語言和ε-δ語言，有些其他的微積分裡的必要的概念都沒辦法定義.
例如函式的一致連續，函式項級數、含參量積分的一致收斂，函式的可積性等概念的定義必須要用到ε-語言，難以想象能像極限那樣，用“變數無限地趨向於某一數值”之類的籠統說法糊弄過去.
而缺少這些，在處理很多分析學問題時，往往會犯下一些想當然的錯誤.（比如在不該交換求極限次序時錯誤地交換求極限次序）
其實微積分的雛形的誕生比很多人想象的還早，早期的樸素極限思想在古希臘的歐多克斯、亞里士多德、歐幾里德、阿基米德那裡就存在了.
16世紀以來，開普勒給出了 的積分
Cavalieri給出了 的積分
費馬給出了導數思想的雛形，後來的費馬引理就是他這一思想的體現
Wallis完成了 的積分
帕斯卡注意到很小的弧與切線可以互相替代，並在證明體積公式時略去高階無窮小
牛頓的老師Barrow給出了求切線的方法
在這些人的工作的基礎之上，牛頓和萊布尼茨獨立建立了微積分學.
、 、 這套符號就是萊布尼茨建立的，沿用至今.
至此為止，微積分都是建立在很不嚴密的基礎上的，“無窮小量”、dx這些概念都很模糊，時而是0時而又不是.有很多人試圖修補這種缺陷，麥克勞林試圖從瞬時速度方面解釋，泰勒則試圖用差分法解釋，顯然路子都不對.
這一階段有很多人批判、質疑過微積分理論，最具代表性的就是貝克萊主教和馬克思.
馬克思曾經寫過幾篇質疑、批判微積分的文章，其中內容如今看來顯然非常可笑，但並非不可理解.馬克思為什麼會有疑問？正是因為當時他還沒讀到過柯西等人的著作，不知道魏爾斯特拉斯建立的的ε-δ語言，因此他批判的其實還是牛頓那套不嚴密的微積分.
想要避免這類哲學家對數學的指點怎麼辦？只有將極限的概念真正嚴密化.
達朗貝爾將微積分的基礎歸為極限，並將極限解釋為“一個變數趨近於一個固定量，趨近的程度小於任何給定的量”，這已經有用ε-語言描繪極限的影子了.
之後，波爾查諾、阿貝爾、柯西等人是真正開始把分析學嚴密化的.
柯西這麼定義極限：“若代表某變數的一串數值無限地趨向於某一數值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串數值的極限”，並把導數定義為 的極限，把定積分定義為一個和式極限.
離最後一步真正的嚴密化，就差一點點了.
魏爾斯特拉斯邁出了最後一步，他反對“變數無限地趨向於某一數值”這一類籠統的說法，他認為應該描述成變數 在區間 取值時， 在區間 上取值，而這個正數 可以任意小.
這樣，最終得到現在通用的邏輯嚴密的函式極限的ε-δ定義：
數列極限的ε-N定義，以及其他形式的函式、數列極限與之類似，這裡不一一列舉，另外這個定義能夠很容易推廣到一般的度量空間上.
當然，由於這一類用ε-N語言、ε-δ語言定義的極限離不開一個概念——距離，所以它也只適用於度量空間中的數列極限，以及度量空間之間對映的函式極限.
再往後，德國數學家黎曼利用魏爾斯特拉斯的這套ε-語言，透過黎曼和的方式，給出了黎曼積分的嚴密定義
今天的我們當然可以繞開距離的概念，直接用開集、鄰域、濾子等更抽象的概念去定義極限，而這都依賴於之後拓撲學的發展，在柯西、魏爾斯特拉斯那個時代顯然是不行的.
參考資料：
華東師範大學數學系《數學分析》
G.肖蓋《拓撲學教程》