1978年就出現了這種演算法，它是第一個既能用於資料加密 也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。算 法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和 Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。

RSA的安全性依賴於大數分解。公鑰和私鑰都是兩個大素數 （大於 100個十進位制位）的函式。據猜測，從一個金鑰和密文 推斷出明文的難度等同於分解兩個大素數的積。

金鑰對的產生:選擇兩個大素數，p 和q 。計算：n = p * q

然後隨機選擇加密金鑰e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 )

互質.

最後，利用Euclid 演算法計算解密金鑰d, 滿足

e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )

其中n和d也要互質。數e和 n是公鑰，d是私鑰。

兩個素數p和q不再需要，應該丟棄，不要讓任何人知道。

加密資訊 m（二進位制表示）時，首先把m分成等長資料 塊 m1 ,m2,..., mi ，塊長s，其中 2^s <= n, s 儘可能的大。

對 應的密文是：

ci = mi^e ( mod n ) ( a )

解密時作如下計算：

mi = ci^d ( mod n ) ( b )

RSA 可用於數字簽名，方案是用 ( a ) 式簽名， ( b ) 式驗證。

具體操作時考慮到安全性和 m資訊量較大等因素，一般是先作HASH 運算。

RSA 的安全性。

RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理

論上的證明，因為沒有證明破解RSA就一定需要作大數分解。假設存在

一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯 然的攻擊方法。現在，人們已能分解140多個十進位制位的大素數。因此， 模數n必須選大一些，因具體適用情況而定。

RSA的速度:

由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上100倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量據加密。

RSA的選擇密文攻擊:

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一資訊作一下偽裝

(Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的資訊。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保 留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵 --每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體

任意產生的資訊解密，不對自己一無所知的資訊簽名；另一條是決不

對陌生人送來的隨機文件簽名，簽名時首先使用One-Way HashFunction

對文件作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不

同類型的攻擊方法。

RSA的公共模數攻擊。

若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險

的。最普遍的情況是同一資訊用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互

質，那末該資訊無需私鑰就可得到恢復。設P為資訊明文，兩個加密金鑰

為e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

RSA的小指數攻擊。 有一種提高RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各 種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。

RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難 度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性 能如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。

RSA的缺點主要有：

A)產生金鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次 一密。

B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；

且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於資料格式的標準化。

目前，SET(Secure Electronic Transaction)協議中要求CA採用2048位元長的金鑰，其他實體使用1024位元的金鑰。

1978年就出現了這種演算法，它是第一個既能用於資料加密 也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。算 法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和 Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。

RSA的安全性依賴於大數分解。公鑰和私鑰都是兩個大素數 （大於 100個十進位制位）的函式。據猜測，從一個金鑰和密文 推斷出明文的難度等同於分解兩個大素數的積。

金鑰對的產生:選擇兩個大素數，p 和q 。計算：n = p * q

然後隨機選擇加密金鑰e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 )

互質.

最後，利用Euclid 演算法計算解密金鑰d, 滿足

e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )

其中n和d也要互質。數e和 n是公鑰，d是私鑰。

兩個素數p和q不再需要，應該丟棄，不要讓任何人知道。

加密資訊 m（二進位制表示）時，首先把m分成等長資料 塊 m1 ,m2,..., mi ，塊長s，其中 2^s <= n, s 儘可能的大。

對 應的密文是：

ci = mi^e ( mod n ) ( a )

解密時作如下計算：

mi = ci^d ( mod n ) ( b )

RSA 可用於數字簽名，方案是用 ( a ) 式簽名， ( b ) 式驗證。

具體操作時考慮到安全性和 m資訊量較大等因素，一般是先作HASH 運算。

RSA 的安全性。

RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理

論上的證明，因為沒有證明破解RSA就一定需要作大數分解。假設存在

一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯 然的攻擊方法。現在，人們已能分解140多個十進位制位的大素數。因此， 模數n必須選大一些，因具體適用情況而定。

RSA的速度:

由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上100倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量據加密。

RSA的選擇密文攻擊:

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一資訊作一下偽裝

(Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的資訊。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保 留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵 --每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體

任意產生的資訊解密，不對自己一無所知的資訊簽名；另一條是決不

對陌生人送來的隨機文件簽名，簽名時首先使用One-Way HashFunction

對文件作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不

同類型的攻擊方法。

RSA的公共模數攻擊。

若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險

的。最普遍的情況是同一資訊用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互

質，那末該資訊無需私鑰就可得到恢復。設P為資訊明文，兩個加密金鑰

為e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

RSA的小指數攻擊。 有一種提高RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各 種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。

RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難 度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性 能如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。

RSA的缺點主要有：

A)產生金鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次 一密。

B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；

且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於資料格式的標準化。

目前，SET(Secure Electronic Transaction)協議中要求CA採用2048位元長的金鑰，其他實體使用1024位元的金鑰。