這說明，A可以對角化，而且A的特徵值只有0或者1.證明方法一如下：A^2=A ==> A(A-I)==0如果A可逆，則 A-I=0 ==> A=I,A可逆成立。此時A的特徵值只有1且可以對角化如果A-I可逆，則 A=0 ==> A-I=-I,所以A－I可逆當然也成立。此時A的特徵值只有0，也算可以對角化吧。如果A與A-I都不可逆，說明A與A－I都不是滿zhi(抱歉，這個字不知道怎麼打出來)。說明 kenel(A) 與kenel(A-I)都非空，含有非零向量。現在由於 A(A-I)=0 ==> 對於任意的向量x， 有 A(A-I)x＝0.即A( (A-I)x )=0,說明只要是 A-I的像(用Im表示)，就一定是A的kenel說明 Im(A-I) <= Kenel(A) 即A-I的像的維度小於等於A的核的維度兩邊同時加上 Kenel(A-I)得到：Im(A-I)+Kenel(A-I) <= Kenel(A) + Kenel(A-I) 由於左邊等於n（假設A的size是n*n）所以有 Kenel(A)+Kenel(A-I)>=n好了，Kenel(A)裡面的向量是什麼向量？即 Ax=0，所以Kenel(A)裡面是特徵值為0的特徵向量。同理，Kenel(A-I)是特徵值為1的特徵向量，有個定理是說不同特徵值的特徵向量時線行無關,既然線性無關，你們兩個特徵子空間的維數加起來不能超過整個空間的維數吧。所以Kenel(A)+Kenel(A-I)<=n 所以Kenel(A)+Kenel(A-I)=n成立。桶子們，上式說明什麼問題？特徵值0的特徵子空間和特徵值1的特徵子空間加起來是就是整個子空間，這就說明A可以對角化而且A的特徵值只有0或者1.證畢。證明方法二根據上面有個匿名使用者的想法得到的：證明如下：對於任意的x，有A(Ax)＝(Ax),說明A將 Ax 對映到 A的像空間，這說明Ax與A的核的交集的維度是0（即交集僅僅為0向量），注意到Ax本身就是A的像空間，所以也就是說A的像空間和A的核空間的交集是0向量。然而像空間和核空間的維度之和是n，所以像空間和核空間的直和構成Rn。OK，現在注意到核空間向量都是特徵值為0的特徵向量。另一方面，由於A(Ax)=Ax,所以像空間向量都是特徵值為1的特徵向量，他們的直和就構成了整個空間Rn。所以A可以對角化，取核空間的一組基以及像空間的一組基構成新的基P，則該線性變換在P下的矩陣B是對角矩陣，對角元素是0或者1（核空間基對應0，像空間基對應1）.且PB＝AP。（本來想寫B＝P的逆*A*P的，P的逆不知道怎麼打出來）。還是這種方法更加深刻，把空間分的更加清晰。其實很簡單。A^2-A=0說明A的零化多項式是 f(x)=x^2-x=x(x-1)A的最小多項式是零化多項式的因子：情況一:最小多項式d(x)＝x由於最小多項式只有單根0，說明A可以對角化，且特徵值為0情況二：最小多項式d(x)=x-1最小多項式只有單根1，說明A可以對角化，且特徵值為1情況三：最小多項式d(x)=x(x-1)最小多項式有單根0，1說明A可以對角化，且特徵值為0，1
｛a｝包含兩個子集，一個是｛a}，｛｝（也就是空集)
集合含於A是集合之間的關係；a屬於A是元素與集合的關係，這是主要也是根本區別
這說明，A可以對角化，而且A的特徵值只有0或者1.證明方法一如下：A^2=A ==> A(A-I)==0如果A可逆，則 A-I=0 ==> A=I,A可逆成立。此時A的特徵值只有1且可以對角化如果A-I可逆，則 A=0 ==> A-I=-I,所以A－I可逆當然也成立。此時A的特徵值只有0，也算可以對角化吧。如果A與A-I都不可逆，說明A與A－I都不是滿zhi(抱歉，這個字不知道怎麼打出來)。說明 kenel(A) 與kenel(A-I)都非空，含有非零向量。現在由於 A(A-I)=0 ==> 對於任意的向量x， 有 A(A-I)x＝0.即A( (A-I)x )=0,說明只要是 A-I的像(用Im表示)，就一定是A的kenel說明 Im(A-I) <= Kenel(A) 即A-I的像的維度小於等於A的核的維度兩邊同時加上 Kenel(A-I)得到：Im(A-I)+Kenel(A-I) <= Kenel(A) + Kenel(A-I) 由於左邊等於n（假設A的size是n*n）所以有 Kenel(A)+Kenel(A-I)>=n好了，Kenel(A)裡面的向量是什麼向量？即 Ax=0，所以Kenel(A)裡面是特徵值為0的特徵向量。同理，Kenel(A-I)是特徵值為1的特徵向量，有個定理是說不同特徵值的特徵向量時線行無關,既然線性無關，你們兩個特徵子空間的維數加起來不能超過整個空間的維數吧。所以Kenel(A)+Kenel(A-I)<=n 所以Kenel(A)+Kenel(A-I)=n成立。桶子們，上式說明什麼問題？特徵值0的特徵子空間和特徵值1的特徵子空間加起來是就是整個子空間，這就說明A可以對角化而且A的特徵值只有0或者1.證畢。證明方法二根據上面有個匿名使用者的想法得到的：證明如下：對於任意的x，有A(Ax)＝(Ax),說明A將 Ax 對映到 A的像空間，這說明Ax與A的核的交集的維度是0（即交集僅僅為0向量），注意到Ax本身就是A的像空間，所以也就是說A的像空間和A的核空間的交集是0向量。然而像空間和核空間的維度之和是n，所以像空間和核空間的直和構成Rn。OK，現在注意到核空間向量都是特徵值為0的特徵向量。另一方面，由於A(Ax)=Ax,所以像空間向量都是特徵值為1的特徵向量，他們的直和就構成了整個空間Rn。所以A可以對角化，取核空間的一組基以及像空間的一組基構成新的基P，則該線性變換在P下的矩陣B是對角矩陣，對角元素是0或者1（核空間基對應0，像空間基對應1）.且PB＝AP。（本來想寫B＝P的逆*A*P的，P的逆不知道怎麼打出來）。還是這種方法更加深刻，把空間分的更加清晰。其實很簡單。A^2-A=0說明A的零化多項式是 f(x)=x^2-x=x(x-1)A的最小多項式是零化多項式的因子：情況一:最小多項式d(x)＝x由於最小多項式只有單根0，說明A可以對角化，且特徵值為0情況二：最小多項式d(x)=x-1最小多項式只有單根1，說明A可以對角化，且特徵值為1情況三：最小多項式d(x)=x(x-1)最小多項式有單根0，1說明A可以對角化，且特徵值為0，1