你的提問很有問題。太外行太不專業了。向量是一個數寫名詞。它與標量相比較而言的。只有長度的稱為標量。與此同時加上方向就稱為向量。你所說的用向量證明餘弦定理一事,我聞所未聞！不知你從何得知的？

首先，不是證明的餘弦定理，餘弦的兩角和差公式

其次，向量的數量積是人為定義的，但是根據定義，用線性運算的方法求出的數量積和用座標運算的方法求出的數量積對同一對向量求數量積的前提下得數應該是相同的

所以有了向量數量積座標運算的公式

然後再根據這個公式，將向量放到單位圓上，推出了餘弦的兩角和差公式

ps只是高中數學書必修四是這個講課順序而已，其實餘弦的兩角和差公式還有好多推導方式，比如用三角函式線就能推導，只是教材上沒講罷了

我講解的可能有些漏洞，但基本邏輯差不多，希望上面答案對您有幫助

如果你是老師，問出這種問題。我建議你還是去進修一下。當然，我記得高中課本所謂向量，是複數形式。現在回過頭來看，居然如此怪異和簡陋。向量空間並非完全人為規定。而是為了更好地處理數學問題，進行抽象化的產物。先輩進行了大量公理化努力。向量空間與幾何有著深刻的對應關係。高中那種複數形式的向量，是一種向量空間的簡略應用。無非是把二維歐幾里得向量空間的基簡單換了一下。仍然是經典二維歐幾里得向量空間的一套規則。

題主的這些疑問小石頭在中學時代也產生過，一直困擾了很長時間，後來才慢慢想通了，這裡將自己當時的心路歷程與大家分享。當然，大抵是因為小石頭比較愚笨，所以才會有諸多疑問的，大家可能不會陷入這些糾結，對於聰明的劇友全當茶餘飯後的笑話看看，不必當真！

疑問1：什麼是向量？

我們知道平面上規定了長度的直線段有兩個端點，如果再指定其中一個是起點（另一個自然是終點），則直線段就具有了從起點指向終點的方向，我們在終點處新增箭頭表示這個方向，稱這樣規定有長度和方向的直線段 為 向量，用粗體小寫字母（或線段上面加箭頭）來表示，例如： 。

我們不固定向量的起點，讓向量可以自由移動，但不管向量起點移動到哪裡，只要長度和方向一樣，就都是同一個向量 。

當向量的起點固定到原點O時，向量的終點決定了向量的大小和方向，從而決定了向量。這說明向量和平面上的點一一對應，而每一個點又都有唯一的平面座標，這些座標被稱為向量，於是向量就和向量一一對應，例如： ↔ A ↔ (a₁,a₂)。

結論：

向量和向量一一對應，向量是向量的代數形式，向量是向量的幾何形式，我們認為它們是同一個東西，英文都是 vector。

疑問2： 向量的運算是怎麼來的？

向量的長度，用| ⋅ |來表示，例如：||。

設 =(a₁,a₂) 根據勾股定理，得出，

|| = √(a₁² + a₂²)

───

將向量 的起點移動到向量 的終點上，這樣從 的起點到 的終點就構成一個新的向量 ，稱為 與 的和，記為 = + ，這就是向量的加法運算。

再設，=(b₁,b₂)，很容易通過幾何關係得到，對應的向量加法定義，

(a₁,a₂) + (b₁,b₂) = + = = (a₁+b₁, a₂+b₂)

由於 其實是 以 和 為邊的平行四邊形的 對角線，所以 顯然 向量的加法 滿足：

交換律： + = +

也可以驗證對應的向量加法交換律，

(a₁,a₂) + (b₁,b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂) = (b₁+a₁, b₂+a₂) = (b₁,b₂) + (a₁,a₂)

───

將 的長度縮放k倍後，得到長度為k||的新向量，記為 =k，稱為向量的數乘運算。

根據相似三角形的等比關係，由

b₁/a₁=||/||=k

b₂/a₂=||/||=k

有，

b₁=ka₁，b₂=ka₂

所以，得到，向量的數乘定義，

k(a₁,a₂) = k = = (b₁,b₂) = (ka₁,ka₂)

當k>0時，和方向相同；當k=0時，縮成一個點，稱為零向量，記為 0；當k<0時，和方向相反。

特別的，令 -=-1 是和 長度相同方向相反的 向量。

───

利用 向量加法和數乘，可以很方便定義向量減法，

-=+(-)=+(-1)

對應的向量減法定義為，

(a₁,a₂) - (b₁,b₂) = - = + (-1) = (a₁,a₂) + (-1(b₁,b₂)) = (a₁,a₂) + (-b₁,-b₂) = (a₁-b₁,a₂-b₂)

───

這樣以來 以 向量 和 為邊的平行四邊形 的對角向量 分別 是 + 和 - ，我們定義 兩個對角向量 的長度的 平方差 的 四分之一 為 與 的點乘，記為 ①：

⋅ = (| + |² - | - |²)/4

將 =(a₁,a₂)，=(b₁,b₂) 代入上式，有，

(a₁,a₂) ⋅ (b₁,b₂) = (|(a₁,a₂) + (b₁,b₂)|² - |(a₁,a₂) - (b₁,b₂)|²)/4 = (|(a₁ + b₁,a₂ + b₂)|² - |(a₁ - b₁,a₂ - b₂)|²)/4 =( (a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)² - (a₁ - b₁)² - (a₂ - b₂)²)/4 = ((a₁²+2a₁b₁+b₁²) + (a₂²+2a₂b₂+b₂²) - (a₁²-2a₁b₁+b₁²) - (a₂²-2a₂b₂+b₂²))/4 = (4a₁b₁ + 4a₂b₂)/4 = a₁b₁ + a₂b₂

即，得到向量的點乘運算定義，

(a₁,a₂) ⋅ (b₁,b₂) = a₁b₁ + a₂b₂

疑問3： 向量性質的幾何意義是什麼？

由 模 和 向量點乘 的定義，有 向量性質 ②，

||² = a₁² + a₂² = a₁a₁ + a₂a₂ = (a₁,a₂)⋅(a₁,a₂) = ⋅

幾何上，考慮 ① 處，當 向量 = 時，以和 為邊的 平行四邊形 就 變成一條線段，這時 有，

⋅ = (| + |² - | - |²)/4 = (|2|² - |0|²)/4 = |2|²/4 = (2||)²/4 = ||²

這樣就得到對應的向量性質。

上面的推導過程中，使用到性質 |k|=|k|||，這在向量上是顯然的，而在向量上有，

|k|=|k(a₁,a₂)|=|(ka₁,ka₂)|=√(ka₁)² + (ka₂)²=|k|√(a₁² + a₂²)=|k|||

───

設 α 為 向量 與 的夾角，β 是 向量 與 X軸正方向的夾角，

根據勾股定理有，

cos(α+β) = a₁/||，sin(α+β) = a₂/||

cos β = b₁/||, sin β = b₂/||

再根據差角公式：

有，

cos α = cos((α+β) - β) = cos(α+β) cos β + sin(α+β) sin β = (a₁/||)(b₁/||) + (a₂/||) (b₂/||) = a₁b₁/|||| + a₂b₂/|||| = (a₁b₁ + a₂b₂)/|||| = (a₁,a₂)⋅(b₁,b₂)/|||| = ⋅/||||

於是得到 夾角公式：

α = arccos(⋅/||||)

⋅ = |||| cos α

這表明 向量點乘的 另外一個 幾何解釋，即，向量 在 上的投影長度 和 的長度 之積（或 在 上的投影長度 和 的長度 之積）。

───

點乘 具有交換律，

⋅ = (a₁,a₂) ⋅ (b₁,b₂) = (a₁b₁,a₂b₂) = (b₁a₁, b₂a₂) = (b₁,b₂) ⋅ (a₁,a₂) = ⋅

這在幾何上是一目瞭然，

我們還能證明 點乘 對於 加法 具有分配率，又設 =(c₁,c₂) 則，

( + ) ⋅ = ((a₁,a₂) + (b₁,b₂)) ⋅ (c₁,c₂) = (a₁+b₁,a₂+b₂) ⋅ (c₁,c₂) = ((a₁+b₁)c₁, (a₂+b₂)c₂) = (a₁c₁+b₁c₁, a₂c₂+b₂c₂) = (a₁c₁, a₂c₂) + (b₁c₁, b₂c₂) = (a₁,a₂) ⋅ (c₁,c₂) + (b₁,b₂) ⋅ (c₁,c₂) = ⋅ + ⋅

進而，點乘 對於 減法也滿足 分配率，

( - ) ⋅ = ( + (-1)) ⋅ = ⋅ + (-1) ⋅ = ⋅ + (-1( ⋅ )) = ⋅ - ⋅

這個推斷規程使用了 結合律，

(k)⋅ = (k(b₁,b₂))⋅(c₁,c₂) = (kb₁,kb₂)⋅(c₁,c₂) = ((kb₁)c₁,(kb₂)c₂) = (k(b₁c₁),k(b₂c₂)) = k((b₁c₁),(b₂c₂)) = k((b₁,b₂)⋅(c₁,c₂)) = k(⋅)

在幾何上有，

| + | cos β =|OF| = |OI| + |IF| = |OI| + |BL| = |BL| + |OI| = ||cos α₁ + ||cos α₂

於是，

| + ||| cos β = ||||cos α₁ + ||||cos α₂

( + ) ⋅ = ⋅ + ⋅

好了，解決了以上這些疑問後，自然就可以使用 向量來證明餘弦定理了：

設，向量 =(a₁,a₂)，=(b₁,b₂)，=(c₁,c₂)，圍成下圖中的三角形，

根據圖中向量的關係，有，

= -

於是，利用 點乘的分配率和交換律，有，

⋅ = ( - )⋅( - ) = ( - ) - ⋅( - ) = (⋅ - ⋅) - (⋅ - ⋅) = ⋅ - ⋅ - ⋅ + ⋅ = ⋅ - ⋅ - ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ - 2⋅

再利用②處的性質，有，

||² = ||² + ||² - 2⋅

||² = ||² + ||² - 2|||| cos α

即，我們熟悉的餘弦定理了：

c² = a² + b² - 2ab cos α

本來，餘弦定理 是直接通過幾何方式證明的：

然後利用餘弦定理，參考①處圖，有，

| - |² = ||² +||² - 2||||cos α

| + |² = ||² +||² - 2||||cos (180° - α) = ||² +||² + 2||||cos α

兩等式相加，即得，

2(||² +||²) = | + |² + | - |²

這稱為，平行四邊形公式：平行四邊形的兩對角線的平方和 等於 四條邊的 平方和。

實際上，數學家將 全體向量組成的 集合 稱為 歐氏向量空間，歐氏向量空間裡定義了 向量的 加法、數乘、點乘、模 甚至 距離，之後 數學家 從 歐氏向量空間 中抽象出了 賦範線性空間， 在其中，模滿足 平行四邊形公式 是 ① 處 點乘 定義 良好的 充要條件。

2021/2/8 補充：

同一個數學概念，因為數學領域不同，有不同的認識，例如，數乘運算：

● 向量的長度乘以因子k，方向保持不變（或相反）；

● k(a₁, a₂, ..., aᵣ) = k(a₁, a₂, ..., aᵣ)；

● 線性運算，滿足：

1 =

(kl) = k(l)

(k + l) = k + l

k( + ) = k + k

● 保持加法的 域F 在 Abel群 M 上的 半群作用，λ: F×M→M , F →(M→M)。

所謂保持加法指的是保持Abel群的加法（域也是Abel群），即：

λ(k + l, ) = λ(k, ) + λ(l, )

λ(k, + ) = λ(k, ) + λ(k, )

所謂半群作用指域作為乘法半群的作用，即：

λ(1)() =

λ(kl)() = λ(k)λ(l)()

就有四種不同的定義，從《解析幾何》→《線性代數》→《抽象代數》，它們是彼此相容，相互印證的，它們並沒有優勝劣汰。

向量只是一對數，賦予某種特定的運算。

一個定理如果可以用向量證明，我只需換一個說法，就能完全避開向量。

這是個哲學命題，不妨看看康德的《純粹理性批判》。

“人為自然立法”，人本身就具有先天的認識能力。一方面，人類能夠產生先天範疇，而範疇就是這樣的概念，“它們先天地把法則加諸現象和作為現象全體的自然界之上”，例如原因和結果，整體與限制等等；同時，人類還有先天綜合的能力，即把感性材料綜合為相互連線的表象。在這裡，認識的過程就演變為主觀和客觀相互作用的過程。