-關鍵在於理解蘊涵關係。p 蘊含 q，在形式系統中被記作「p→q」。最基本的情況，就是蘊含被理解為「實質蘊涵」，也即「p→q」等價於「- p∨q」，其中「∨」是或者的意思「-」表示否定。為什麼這樣定義是符合直觀的？假設，我許下的諾言是：「如果明天不下雨，那麼我們就出去玩」。那麼在什麼情況下，你們可以說我沒有兌現諾言呢？只有一種情況，就是明天沒有下雨，但我們卻沒有出去玩的情況。而這個語句，單純從真值（truth value）上來說，就等價於「明天下雨，或者明天我們出去玩」。接下來是理解「 實質蘊涵為真的充分條件是前提需為假 」。這句話讀起來有點繞口，實際上的意思就是：「如果前提為假，那麼實質蘊涵為真」請準確理解「充分條件」和「必要條件」。我們說「A 是 B 的充分條件」，如果有 A 則必然有 B，並且也說「B 是 A 的必要條件」，換而言之，「沒有 B 就沒有 A」。另外，說起這個事情，其實是有技術上的原因的。我們考慮二元真值函項的全體，一共有 16 種可能（下面的 * 只是運算元的記號，並不真的表示乘號）1、永真P Q P*QT T TT F TF T TF F T不管 P、Q 的取值分別是多少，函式的輸出永遠是 T。沒有考慮的意義。表示式可以理解為P * Q = P or -P2、析取P Q P*QT T T T F TF T TF F F僅當 P、Q 均為假的時候為假。3、必要條件P Q P*QT T TT F TF T FF F T必要條件，也即 P * Q = P ← Q = Q → P4、P 投影P Q P*QT T TT F TF T FF F FProjection，第一個分量的投影對映，P * Q = P，沒有考慮的意義5、充分條件P Q P*QT T TT F FF T TF F T充分條件，也即我們要討論的實質蘊涵。6、Q 投影P Q P*QT T TT F FF T TF F FProjection，第二個分量的投影對映，P * Q = Q，沒有考慮的意義 7、等值P Q P*QT T TT F FF T FF F T如果 P 和 Q 取值相同則為真，否則為假：P * Q = P ↔ Q8、合取P Q P*QT T TT F FF T FF F F僅當 P 和 Q 同時為真的時候為真9、與非P Q P*QT T FT F TF T TF F TNAND： P * Q = - ( P & Q ) ， Sheffer 運算元，記作 ↑。10、異或P Q P*QT T FT F TF T TF F F或者說，不相容析取。有些情況下，我們說「或者……，或者……」意在叫你二選一，就像你塗答題卡的時候，假設只有 A、B 兩個選項，假設兩個都是對的，然後叫你選擇一個對的。如果你填了 A，又填了 B，那你的答案就是錯的（或者說不符合題意的）。11、非 Q 投影P Q P*QT T FT F TF T FF F TP * Q = -Q，投影之後取反，沒有意義，不考慮。 12、非充分P Q P*QT T FT F TF T FF F F充分條件取反： P * Q = - (P → Q)13、非 P 投影P Q P*QT T FT F FF T TF F TP * Q = -P，投影之後取反，沒有意義，不考慮。 14、非必要P Q P*QT T FT F FF T TF F F必要條件取反： P * Q = - (Q → P) 或者說 P * Q = - (P ← Q) 15、或非P Q P*QT T FT F FF T FF F TNOR： P * Q = - ( P or Q )，皮爾斯運算元，記作 ↓ 16、永假P Q P*QT T FT F FF T FF F F不管 P、Q 的取值為何。 P * Q = P and -P好了，列出這些的目的是什麼呢？考察，在二值邏輯中，到底哪個才能被稱為蘊含。首先，既然是 P 蘊含 Q，即便是在一般意義的用法下，我們也要保證這個運算元是和 P Q 都相關的，所以投影對映或者是投影對映取反，以及常值對映（永真以及永假）就應該被直接排除掉。所以我們還剩下 10 個選擇。在這 10 個選擇中。首先，我們知道，在 P 和 Q 都為真的時候，得到的結果應該是 T。並且，如果 P 為真而 Q 為假，得到的結果應該是 F。所以我們還剩下這三個可選的專案：5、P Q P*QT T TT F FF T TF F T7、P Q P*QT T TT F FF T FF F T8、P Q P*QT T TT F FF T FF F F其中，8 已經有名字了，就是合取，我們沒有理由再把它叫做實質蘊涵，刨去。關鍵就是，我們到底應該把 5 命名為實質蘊涵，還是把 7 命名為實質蘊涵。而這個時候我們會發現，7 其實已經有名稱了：等值。並且等值雖然在介紹的時候一般是定義為：P ↔ Q := ( P → Q ) and ( Q → P ) 但是實際上，不需要蘊涵我們也可以定義等值。因為，等值本身有非常直觀的意思：就是兩個值相等的時候才為真。考慮到 and 的真值表是在兩個都為真的時候才為真，而 NOR 的真值表是在兩個都為假的時候才為真。只需要把這兩個析取在一起就好了，也即：P ↔ Q := ( P and Q ) or - ( P or Q )另外一方面，我們在定義邏輯的時候，其實是和集合有關係的，比如說兩個集合的交類比於邏輯的合取，兩個集合的並類比於邏輯的析取。事實上「蘊含」已經很清楚地表示出了它代表的是某種類似於包含的關係，也即，是一種單向的，非對稱的關係。而等值本身可以對應集合直接的等同關係。所以說，實質蘊涵採用的不是 8 ，而是 5。回到問題本身，這句話是什麼意思呢？空集被包含在任何集合裡面。-
-關鍵在於理解蘊涵關係。p 蘊含 q，在形式系統中被記作「p→q」。最基本的情況，就是蘊含被理解為「實質蘊涵」，也即「p→q」等價於「- p∨q」，其中「∨」是或者的意思「-」表示否定。為什麼這樣定義是符合直觀的？假設，我許下的諾言是：「如果明天不下雨，那麼我們就出去玩」。那麼在什麼情況下，你們可以說我沒有兌現諾言呢？只有一種情況，就是明天沒有下雨，但我們卻沒有出去玩的情況。而這個語句，單純從真值（truth value）上來說，就等價於「明天下雨，或者明天我們出去玩」。接下來是理解「 實質蘊涵為真的充分條件是前提需為假 」。這句話讀起來有點繞口，實際上的意思就是：「如果前提為假，那麼實質蘊涵為真」請準確理解「充分條件」和「必要條件」。我們說「A 是 B 的充分條件」，如果有 A 則必然有 B，並且也說「B 是 A 的必要條件」，換而言之，「沒有 B 就沒有 A」。另外，說起這個事情，其實是有技術上的原因的。我們考慮二元真值函項的全體，一共有 16 種可能（下面的 * 只是運算元的記號，並不真的表示乘號）1、永真P Q P*QT T TT F TF T TF F T不管 P、Q 的取值分別是多少，函式的輸出永遠是 T。沒有考慮的意義。表示式可以理解為P * Q = P or -P2、析取P Q P*QT T T T F TF T TF F F僅當 P、Q 均為假的時候為假。3、必要條件P Q P*QT T TT F TF T FF F T必要條件，也即 P * Q = P ← Q = Q → P4、P 投影P Q P*QT T TT F TF T FF F FProjection，第一個分量的投影對映，P * Q = P，沒有考慮的意義5、充分條件P Q P*QT T TT F FF T TF F T充分條件，也即我們要討論的實質蘊涵。6、Q 投影P Q P*QT T TT F FF T TF F FProjection，第二個分量的投影對映，P * Q = Q，沒有考慮的意義 7、等值P Q P*QT T TT F FF T FF F T如果 P 和 Q 取值相同則為真，否則為假：P * Q = P ↔ Q8、合取P Q P*QT T TT F FF T FF F F僅當 P 和 Q 同時為真的時候為真9、與非P Q P*QT T FT F TF T TF F TNAND： P * Q = - ( P & Q ) ， Sheffer 運算元，記作 ↑。10、異或P Q P*QT T FT F TF T TF F F或者說，不相容析取。有些情況下，我們說「或者……，或者……」意在叫你二選一，就像你塗答題卡的時候，假設只有 A、B 兩個選項，假設兩個都是對的，然後叫你選擇一個對的。如果你填了 A，又填了 B，那你的答案就是錯的（或者說不符合題意的）。11、非 Q 投影P Q P*QT T FT F TF T FF F TP * Q = -Q，投影之後取反，沒有意義，不考慮。 12、非充分P Q P*QT T FT F TF T FF F F充分條件取反： P * Q = - (P → Q)13、非 P 投影P Q P*QT T FT F FF T TF F TP * Q = -P，投影之後取反，沒有意義，不考慮。 14、非必要P Q P*QT T FT F FF T TF F F必要條件取反： P * Q = - (Q → P) 或者說 P * Q = - (P ← Q) 15、或非P Q P*QT T FT F FF T FF F TNOR： P * Q = - ( P or Q )，皮爾斯運算元，記作 ↓ 16、永假P Q P*QT T FT F FF T FF F F不管 P、Q 的取值為何。 P * Q = P and -P好了，列出這些的目的是什麼呢？考察，在二值邏輯中，到底哪個才能被稱為蘊含。首先，既然是 P 蘊含 Q，即便是在一般意義的用法下，我們也要保證這個運算元是和 P Q 都相關的，所以投影對映或者是投影對映取反，以及常值對映（永真以及永假）就應該被直接排除掉。所以我們還剩下 10 個選擇。在這 10 個選擇中。首先，我們知道，在 P 和 Q 都為真的時候，得到的結果應該是 T。並且，如果 P 為真而 Q 為假，得到的結果應該是 F。所以我們還剩下這三個可選的專案：5、P Q P*QT T TT F FF T TF F T7、P Q P*QT T TT F FF T FF F T8、P Q P*QT T TT F FF T FF F F其中，8 已經有名字了，就是合取，我們沒有理由再把它叫做實質蘊涵，刨去。關鍵就是，我們到底應該把 5 命名為實質蘊涵，還是把 7 命名為實質蘊涵。而這個時候我們會發現，7 其實已經有名稱了：等值。並且等值雖然在介紹的時候一般是定義為：P ↔ Q := ( P → Q ) and ( Q → P ) 但是實際上，不需要蘊涵我們也可以定義等值。因為，等值本身有非常直觀的意思：就是兩個值相等的時候才為真。考慮到 and 的真值表是在兩個都為真的時候才為真，而 NOR 的真值表是在兩個都為假的時候才為真。只需要把這兩個析取在一起就好了，也即：P ↔ Q := ( P and Q ) or - ( P or Q )另外一方面，我們在定義邏輯的時候，其實是和集合有關係的，比如說兩個集合的交類比於邏輯的合取，兩個集合的並類比於邏輯的析取。事實上「蘊含」已經很清楚地表示出了它代表的是某種類似於包含的關係，也即，是一種單向的，非對稱的關係。而等值本身可以對應集合直接的等同關係。所以說，實質蘊涵採用的不是 8 ，而是 5。回到問題本身，這句話是什麼意思呢？空集被包含在任何集合裡面。-