代數是研究數、數量、關係、結構與代數方程（組）的通用解法及其性質的數學分支。主要包括初等代數、高等代數、抽象代數、向量代數等分支。其中，高等代數又包括線性代數與多項式代數——前者源於二元、三元一次方程組向n元一次方程組（又稱線性方程組）的推廣，後者源於一元一次、二次方程向一元n次方程（又稱多項式方程）的推廣。在大學，線性代數也是理工科（非數學專業）、經濟、金融、管理、證券等許多專業的基礎必修課，並與高等數學/微積分平起平坐。

現行中學數學的代數部分以初等代數為主，高中階段也包括一些向量代數。

初等代數是古老的算術的推廣和發展。在古代，當算術裡積累了大量的關於各種數量問題的解法後，為了尋求有系統的、更普遍的方法，以解決各類數量關係的問題，就產生了初等代數。

用通俗的語言解釋什麼是初等代數，就是說：如果我們將算術定義為分別研究蘋果、梨、橘子、葡萄等各有什麼特點，那麼初等代數就是研究水果的共性。

代數運算的特點是隻進行有限次的加、減、乘、除和開方。這也是代數運算區別於超越運算與微積分運算的根本特徵。

從算術思維到代數思維有一個很大的轉變過程，這個思路的轉變，是很困難的，有時候越是小學數學學的好的同學，轉變就越困難，這是為什麼呢？下面我們就透過一道數學題來體會一下代數思維和算數思維的不同：

小明有一個蘋果，媽媽又給他買了一些，現在一共有兩個蘋果了，請問，媽媽給他買了幾個蘋果呢？

這是一道小學一年級的算術題，大家都知道，我們只要現有的蘋果減去原來的蘋果，不就是媽媽買的蘋果數嗎？2-1=1，顯然是買了1個蘋果。哎，題目做的沒錯，但是我們剛才的思維方式，就叫算數思維。那麼，代數思維是什麼呢？我們先看問題問什麼，問什麼就假設什麼是x，而後根據題意列出一個含有x的等式。比如，我們假設媽媽給他買了x個蘋果，然後再重新看題目：

小明有一個蘋果就寫下1，媽媽又買了一些，買了蘋果可以用加法，買了幾個呢？我們剛才假設她買了x個，那麼就是1 + x，現在一共有兩個蘋果了，那就說明最後的蘋果數 = 2。所以這個方程就列出來了：1+x=2。然後呢，我們再把這個方程解出來，把x前面的1移到等式右邊，變成：x=2-1，最後求得x=1。

那我們廢了這麼半天勁，不還是透過2-1得到了1嗎，這代數方法，就是讓我們多寫了一個算式，什麼好處都沒有呀。哎，那些小學數學學的好的同學之所以不適應，就是因為如此，我們總感覺，用代數方法解題是在自找麻煩。那麼，代數思維，究竟有什麼好處呢？哎，對於簡單的數學問題而言，代數思維的確沒有多少幫助，但是代數思維卻可以幫助我們解決複雜的問題，這就好比啊，如果我們只是走10步的距離，那麼開車就沒有任何幫助，但是如果我們要走的路程是10公里，那麼開車就要快很多了。那麼，為什麼說代數思維能幫助我們解決複雜的問題呢？因為這個代數思維可以把一個複雜的問題，拆分成三個互不相關的簡單問題，或者說，可以把解題的過程分成三個獨立的步驟：發現問題、分析問題、解決問題。

為什麼我們要發現問題呢？這數學題不是明擺在哪裡嗎，還需要發現嗎？那我要問你了，你憑什麼認為這個問題就是一個數學問題呢？那你可能說，這問題出在數學卷子上，當然就是數學題了，難不成它還是歷史問題嗎？那我可就得提醒你了，我們學數學的目的，可不是為了做數學卷子，如果你在工作或者生活中遇到了一個問題，你透過什麼判斷，它是不是一個數學問題，又能不能用數學方法解決呢？我告訴你，最簡單的辦法就是，我們可以把這個問題用數學語言再重新描述一遍。通俗一點說，就是列個代數算式。可是這列算式不是已經在開始做題了嗎？為什麼我說它屬於發現問題呢？哎，這就是因為你不懂代數思維了。其實列式子不是在做題，而是在透過數學符號，把題目中的意思重複的表達出來而已，這個過程啊，就像我們把中文翻譯成英文一樣，我們只不過是把用自然語言描述的內容，直接轉換成用字母數字和加減乘除描述而已。在列式子的過程中，是不允許有任何一點點兒計算的，題目怎麼說，我們就怎麼列，摻雜任何一點兒計算進去，都叫算術思維。

接下來就是第二步，分析問題。什麼叫分析問題呢？就是把算式化簡。請注意，從這裡開始，我們的操作和第一步是已經完全分離了，列式子和化簡算式是兩個完全獨立的過程：首先呢，再化簡算式的過程中，我們完全不用關心這個算式裡面的變數xy分別代表什麼含義了；其次，我們化簡算式所用到的知識是什麼呢？是移項、合併同類項等知識，這些知識跟如何列算式也沒有任何關係；第三，一個算式化簡的方法有很多很多種，無論透過哪種方式化簡，都可以得到最終的答案，這個過程也和具體題目無關。那麼，式子要怎麼化簡呢？這就要根據我們前文提到的式子的不同分類尋找不同的化簡辦法。我們在後續的課程中會逐一介紹。

最後一步，解決問題。也就是把數字代入到最簡的算式中，透過計算把最終得數求出來。在我們實際計算的時候，這一步有可能是獨立的，比如，我們先計算的是一大坨算式，把算式化簡後，在代入數字，最後求解，但也有時候我們的算式裡直接就有數字，再第二步化簡的時候，直接就能夠得到得數。但我們需要說明的是，對算式的求解所用到的知識就是小學數學的加減乘除，它又是一個獨立的知識，因此求解也是獨立的一個步驟。

你看到了嗎，一個複雜的問題，可以很清晰的分割成互不相關的三個獨立的步驟。這樣問題的難度就會大大降低了，當然，在後續學習中我們會發現，在這三個步驟中，還可以進一步的拆分為更細小的步驟，這樣拆分的結果是，任何一個問題拆到最後，每一個步驟都會變成了像1+1=2一樣極為簡單的問題。

同時必須指出，我們在實際工作中處理數學問題的時候，只要有必要，我們完全可以派三個人獨立負責不同的步驟，比如第一個人負責把應用題列成方程式，第二個人負責方程式化簡，第三個人負責計算最終得數。最終，三個人通力合作得到了答案，大家一起合作共同解決問題並不神奇，神奇的是，他們三個人完全不用相互交流就能完成工作。要知道，分工協作可是現代社會的基礎，目前我們使用的一切產品，都是成千上萬的企業和個人分工協作的結果。代數思維不僅使得難題可以化簡，而且使得分工協作成為可能。

本節我們學習了代數思維的好處，接下來我們就用代數思維解決一個複雜問題吧？怎麼樣，學習了代數思維以後，是不是有一種摩拳擦掌躍躍欲試的感覺呢？