拓撲學研究幾何物件的內在的性質，具體來說就是連續形變下保持不變的性質。比如，一個皮球總是將空間分成兩部分，除非你把它戳破。再比如，平面上一根橡皮筋怎麼也繞不過一個釘子(即有一個洞的平面阻止曲線之間的連續變化)。再換個角度，拓撲學主要討論空間的分類問題。比如，為什麼和不一樣，因為摳掉一個點就變成兩個不連通的部分了，而去掉一個點仍然是連通的。為什麼和不一樣，因為中摳掉一個點，繞這個點的橡皮筋縮不到一個點，但是可以的。要區分不同的幾何物件或空間，就需要憑證，也就是說需要算出來一個數或一個可量化的東西，來比較它們是否一樣。因此，需要有拓撲不變數的概念。我們其實是熟悉一些拓撲不變數的。比如，維度，比如凸多面體的尤拉數: 2=頂點數-邊數+面數。一般的三角化曲面的尤拉數也是這麼定義的，光滑曲面的尤拉數也有尤拉數，和它的三角化曲面在數值上一樣。比如，凸多面體和球面的尤拉數都是2，凸多邊形和圓圈的尤拉數都是0，輪胎面的尤拉數為0。因為涉及到計算，主要有兩個工具：代數拓撲或微分拓撲。代數拓撲的做法是直接將空間上的連續的問題變成代數上的計算問題，即(空間,連續對映) => (群,同態對映)。簡而言之，就是將不好計算的問題變成好計算的問題。比如，一個輪胎面有一個連通分量(0維"洞")，兩個獨立的閉環(1維"洞")，一個封閉的曲面(2維"洞")，這都是可以用代數拓撲中的同調代數算出來的。神奇的是，不同維數的"洞"的個數的交錯和居然等於其尤拉數：1-2+1=0。這實際上是尤拉數的一般的定義方式。比如，球面有1個連通分量(0維"泂")，0個1維"洞"，1個2維"泂"，於是其尤拉數為1-0+1=2。圓圈有1個連通分量(0維"洞")，1個1維"洞"，於是其尤拉數為1-1=0。注：輪胎面有一個連通分量，2個獨立的1維"洞"(紅線和藍線)，1個封閉曲面，因此尤拉數定義為1-2+1=0。另一方面，它的一種三角化曲面(右圖)，有32個頂點，96條邊，64個三角形，因此，這裡的尤拉數定義為32-96+64=0。兩種定義是一致的。微分拓撲則是透過某種測量方式來測出空間上的一些區域性感興趣的東西，然後，再拼湊成全域性的拓撲性質。比如，把一個輪胎面豎起來，即在它上面定義高度函式，則此高度函式有4個點是梯度為零的點，最上面那個極大點有0個遞增方向，最下面那個極小點有2個遞增方向，中間兩個點各有1個遞增方向，將具有不同遞增方向的點的個數以交錯的方式相加：1-2+1=0。這其實就是輪胎面的尤拉數。這個例子可推廣到一般的情況，也就是用一個好的測量方式能得到空間的拓撲性質。總之，具體到拓撲學的各個研究領域，實際上就是找一種方法來算拓撲不變數，看一看哪些性質是不隨連續形變而變的。上面完全是以幾何為背景，實際上拓撲學最初是從圖論引申出來的。還需要指出來的是，數和幾何是數學的兩面，或看待問題的兩種方式，很多情況下是可以相互轉化的。放一些圖應該更好理解一些，如果有需求的話，我再整理。