傅立葉級數就是函式在某個函式空間中各個基底的投影和。這句話是這部分的精髓，也是理解傅立葉級數的關鍵點。耐心看完這篇文章你會理解這句話的。

傅立葉說：任何週期訊號都可以化簡為正弦訊號或餘弦訊號的和。然後就有了傅立葉級數。傅立葉級數的兩種形式如下：

三角函式形式的傅立葉級數：

或

這兩個本質上是一種形式，可以互相轉換。

復指數形式的傅立葉級數：

1.兩種形式的傅立葉級數推導過程。

三角形式傅立葉級數數學推導

這篇文章寫的詳細，然後從三角形式的傅立葉級數可以推匯出指數形式，網上資料很多，這裡就不寫了。

2.傅立葉級數的意義

如果兩個向量內積（向量內積就是數量積）為0，則這兩個向量正交，如：在一個四維空間中，

若

則稱向量u和v正交，向量正交可以理解為垂直，想象一下三維空間，它是由三個兩兩正交的基底X軸、Y軸、Z軸構成的，XY、YZ、ZX兩兩垂直，即是正交。一個n維向量空間是由n組互為正交的向量組成的。咱們把向量裡面的這些定理類比到函數里面。

兩個n維向量的內積公式（就是數量積或者說點乘）為：

那麼類比一下，如果把i從整數擴充套件到整個實數軸，累加就變成了積分， 和 就變成了函式值f(t)和g(t),則函式的內積公式為：

如果是週期為T(兩個函數週期應該有整數倍的關係，這個週期表示兩個函式中週期比較大的函數週期)的函式：

如果f(t)和g(t)是複函式：

如果f(t)和g(t)的內積為0，我們就說這兩個函式正交，就像兩個向量垂直。

舉個例子：

函式內積是對每個自變數t下兩個函式的值相乘再累加，所以對於上面的兩個週期函式，只需要取一個週期計算就行，每個週期的得到的結果都一樣。

互為正交的一組向量可以構成一個向量空間，像三維空間的X、Y、Z軸，那麼互為正交的一組函式呢？它構成了一個函式空間，這個函式空間的基底就是這組兩兩正交的函式。函式空間是什麼樣子我也不知道，只能類比向量空間。

舉個函式空間的例子：

這一組函式都是兩兩正交的，證明如下：

任取上面函式組中的兩個函式記為： 和 ,m和n是k中任意的數，

是最大週期為1的函式，所以取一個週期計算他們的內積，這個結果表示當m=n時，意思就是這是一個函式時，這個函式和自己的內積為一，想象一下一個單位向量和他自己的內積（數量積），也是一；當m不等於n時，也就是函式組中任意兩個函式的內積為0，他們兩兩正交。

所以， 裡面的所有函式作為基底構成了一個函式空間。

把 換成任意實數 仍然成立。

還有一組正交函式

這些基底是不是有些熟悉？回憶一下傅立葉級數的兩種形式。

接下來先想象一個三維空間中的向量a，假設該三維空間基底為 ，怎麼表示這個向量a呢？

四維空間中的向量a呢？假設基底為 。

那麼m維空間中的向量a呢？假設基底為 。

上述公式表示，每個基底乘以一個實數（這個實數就是向量a在基底上的投影長度）再相加就可以表示這個空間中的任意一個向量，或者說，每個向量可以表示為在各個基底上的投影和（投影包括長度和方向，而投影長度僅指長度），可以想象一下三維空間中的向量分解到每個基底上面的過程

有了這個就可以和傅立葉級數對比了。

先看三角函式的傅立葉級數 ，類比一下向量空間，

這個函式空間的基底為 ,

就是每個基底前的係數，每個基底乘以特定的係數（這個係數是f(t)在函式基底上的投影長度）然後累加就可以表示時域週期函式（傅立葉級數只能表示週期函式），或者說每個時域週期函式都可以表示成在各個函式基底上的投影和。

三維空間中一個向量在某個軸上的投影的長度就是這個向量與這個軸的內積，正交（垂直）的話，內積就是0，平行的話，內積是那個向量的長度，想象一下數量積的知識點。類比向量的投影，時域週期函式在某個函式基底上的投影長度為

這是f(t)在復指數基底上的投影長度剛好是指數形式傅立葉級數的 。三角形式的傅立葉級數也是這個道理。

所以，傅立葉級數就是函式在某個函式空間中各個基底的投影和。

看到這腦海中是不是對傅立葉級數有了一個形象，如果有我這篇文章寫的也不是那麼差哈哈哈。那麼有了傅立葉級數，我們怎麼用她呢？

大家應該都聽過頻譜。

咱們把一個時域週期訊號寫成指數形式傅立葉級數的形式：

我們想象不出f(t)在函式空間中投影的樣子，但我們可以把這個公式裡面有用的資訊提取出來並表示到座標圖裡。

首先，基底是什麼呢： ， 可以用來表達不同的基底的資訊，我們把它放到頻率軸上。

像這樣：

然後，這個公式還有什麼資訊呢？

,f(t)的投影長度。注意函式的投影長度不是真的長度，不是表示這個函式有多少米，他是類比向量的投影長度得出來的，是一個屬性，抽象的東西，不過這個是常數。

有這兩個資訊就可以表示出這個傅立葉級數也就是f(t)了，能不能想象出來這個圖象？

emmm......身為一個靈魂畫手，我只會畫這個東西的靈魂，讀者將就看吧.......

大多數情況下是複數，所以圖中有複平面。這麼畫還是有點複雜，能不能讓他更簡單一點呢？

我們都知道一個複數可以化簡為模和輔角的形式： ,

那麼我們把在每個 下的模和輔角分開畫，得到兩個影象，我們把她倆叫做幅度譜和相位譜，他倆橫軸都是頻率軸。

幅度譜（幅度譜我只畫了大於零的部分，小於零的部分是關於Y軸偶對稱的）：

相位譜：

圖是隨便畫的，只是單純的表達這個圖有哪些資訊。這兩個圖就把時域週期函式的全部資訊體現出來了。這兩個圖是把f(t)在函式空間各基底上的投影長度 分成了模和輔角兩部分，然後，模被稱為幅度，輔角被稱為相位，然後各個基底用頻率表示，我們透過分析各頻率分量（即各個基底）下的幅度和相位，來分析時域週期函式，這就達到了從另一個角度（頻域）去分析時域週期函式的目的。

傅立葉級數說到這差不多了。本來想好好畫畫那些圖，讓這篇文章更形象，但是我太菜了......

f(x)=e^-ax^2（a>0）的傅立葉變換是F(ξ)=[1/√(2a)]e^-[ξ^2/(4a)]。傅立葉變換（Fourier transformation）具有的性質：（1）線性性質：函式線性組合的傅立葉變換=各函式傅立葉變換的線性組合（2）位移性質（shift訊號偏移，時移性）：如：f（t-t0）表示時間函式f（t）沿t軸向右平移t0，其傅立葉變換=f（t）的傅立葉變換乘以因子exp（-iwt0），類似f（t+t0）的傅立葉變換=f（t）的傅立葉變換乘以因子exp（iwt0）而F（w-w0）的表示頻譜函式沿w軸向右平移w0，其傅立葉逆變換=F（w）的傅立葉逆變換乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）（3）微分性質：一個函式導數的傅立葉變換等於這個函式傅立葉變換乘以因子iw（4）積分性質：一個函式積分後的傅立葉變換等於這個函式傅立葉變換除以因子iw利用傅氏變換的這四條性質，可以將線性常係數微分方程轉化成為代數方程，透過求解代數方程和求傅氏逆變換，可得到微分方程的解。