零是無窮大，也是無窮小。它是人文不能真實的用數理（個）來表達物質存在的存在像位――作為無窮大；也是人文表達所在的客觀本身對外界事物的確立，以一個抽象基理的存在而標榜他所謂的特意針對的建樹參照引伸相對存在的集豔焰薪

簡單介紹兩種方法，基本思路是反證法。

閉區間套定理：如果{[an,bn]}形成一個閉區間套，則在實數系中存在唯一的實數ξ屬於所有的閉區間[an,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。且lim an=lim bn=ξ。

假設0~1之間的實數可數，按照某種規律記為a、b、c 、d 、e、f、g……

將0，1閉區間三等分，至少有一個閉區間不含有a；將任意一個不含有a的閉區間再三等分，至少有一個閉區間不含有b；再將任意一個不含有b的閉區間三等分，至少有一個不含有c；這個過程可以不斷進行下去，形成了一個閉區間套，這個閉區間套不含有a、b、c 、d 、e、f、g……，但根據閉區間套定理，確定了一個實數ξ不在a、b、c 、d 、e、f、g……之中，產生矛盾，從而0，1之間的實數是不可數的。

這個過程也可以這樣理解，將一條線段每次只保留1/3，不斷進行下去，最終餘下了一個點。

康托爾假設0~1之間的實數可數，將它們列成一個表在對角線上依次取一位組成一個數，再把這些從對角線上取來的每一個數字改變成另一個數字（比如加上1，如果是9的話就變為0），然後再在前面放上小數點。所構造出的數記為ξ，必然在0和1之間，但ξ並不包含在這個表之中，因為至少在對角線上的那位數字與表中的數是不一樣的，比如第1位與表中的第1個數不同，因此它不等於第1個數，第2位與表中的第2個數不也不同，因此它不等於第2個數，以此類推，所構造出的數確實是個新數。

同理可證其他位置上的實數也是不可數的，從而實數集是不可數的，也就是無法與自然數建立一一對應。

區間[0,1]中任意實數x的二進位制表示如下：

x＝a₁/2¹＋a₂/2² ＋...＋aₙ/2ⁿ＋...

其中a₁, a₂, ..., aₙ, ... ∈{0，1}。

這裡有以下事實：

◆任意x的二進位制小數位數和自然數一一對應，即，對於每個i∈N唯一對應aₙ/2ⁿ （n=i+1）。這說明任意x的小數位數和N的元素個數一樣多，而自然數集N的元素個是И₀，所以任意x的小數位數也是И₀；

◆任意x的每個二進位制小數位都可以取0或1兩個數字。每個x可看成，從裝有0，1兩個球的口袋裡任取一個球，取И₀次排列在一起的結果。根據排列組合的知識可知所有x的個數是И₀個2相乘，即，2^И₀；

◆對於所有小於 1 的有理數 y=(2ⁱ + 1)/2ⁿ， (i, n∈N) 均有兩種二進位制表示，例如：i = 0，n=1 時 y = 1/2 < 1, 可以二進位制表示為 0.1000.... 或 0.0111... 。現在考慮所有y的個數，因為每個i∈N 最少對應一個這樣的 y=(2⁰ + 1)/2ⁿ (n=i+1)，所以所有y的個數大於等於 N的個數，即，所有y的個數≥И₀；另一方面，y一定是有理數，所以所有y的個數小於等於有理數集Q的元素個數，而Q的元素個數也是И₀，於是所有y的個數≤И₀；這樣就是說明，所有y的個數等於И₀；

◆0到1之間的實數個數是所有x的個數2^И₀減去重複的所有y的個數И₀，即，2^И₀-И₀。而根據 2^И₀+И₀ = 2^И₀，有2^И₀-И₀ =(2^И₀+И₀)-И₀ = 2^И₀，故，0到1之間的實數個數是2^И₀。

綜上，自然數的個數是И₀，0到1之間的實數個數是2^И₀，而2^И₀＞И₀，因此它們之間不可能一一對應。