許進老師花了幾年時間，獲得了幾百頁的系列成果，很令人期待。也看到幾位同行專家的肯定的評價，雖然他們都沒有確認四色問題的純數學證明的完全正確。我作為觀察者，有下面幾點看法供各位參考：

許進在2012年給出的數學證明，我雖然沒有看到，但有理由寄予期望。顯然需要更權威的專家的確認。估計此項工作已經有人在做。

許進把地圖四色定理和相應的平面圖四色定理的證明，歸結為極大平面圖（它的結構和著色方法研究）的可著色問題，這本身至少是對於此項問題的推進，而且研究本身也顯然是已經對於人類關於圖論知識的擴充套件。值得學習。

並非因為作為圖論問題處理太難，而是問題本身難，所以我在前面的討論中認為你和雷明對於這一點估計不足，我冒昧地建議，還是不要輕易得出“證出來了”的結論為好，即使是找別人看，最好也不要一心要求人家“認可”（許進的證明也還沒有得到正式認可！），而是要求改進意見和指出錯誤和不妥之處，這樣就會離成功越來越近。

我想，“科學智慧火花”網站作為一個民間的組織，做到這裡，也確實沒有辦法了。你所提到的中科院的《圖論組合網路研究中心》，與正規學術刊物不同，人家也沒有義務審查。那麼，唯一的出路就是直接投給正規學術刊物了。

為此，我放棄了我不介入四色問題純數學證明細節的“初衷”，決定看一下你的證明（以前沒有看過），很快發現一些應該改進的地方，所以建議你不要急於投稿發表，應該先把證明寫好。下面的問題僅供參考

引理1，2是已有的定理，本來不必作為引理，但由於是針對地圖的，最好把定理的出處和定理的條件與結論寫清，感覺你的敘述很不嚴謹。

引理3是個比較大的問題，你所給出的不是一個命題（要有條件和結論）！另外，你只是給出對於一個國家C及其鄰國的著色方法，而不是對於一個地圖（所有國家）的著色方法！其它國家如何著色沒有講。一定要把“圈著色”方法介紹清楚。“圈著色”完成後，地圖是什麼狀態？這些不交代清楚，後面的就看不下去了。後面歸納假設中，“且是在滿足引著色模式H下，和四著色要求對k個國家完成著色。”，不知何為，四著色要求對k個國家完成著色”又是指的什麼？

另外，這種著色方法是你提出的方法還是別人已經提出的方法？應該說明。

由於你的證明的敘述不夠嚴謹，我猜想其中有兩個關鍵問題，可能沒有注意到：

你的“H-模式”N=6時是可行的，但對於N=k（k可能很大！），這時的“H-模式”如何進行？沒有說！對於m+1個國家著色後，還有許多國家沒有著色，下一次著色的國家及其鄰國，如果包含一個或幾個已著色的國家，你的“H-模式”如何進行？

另外，我估計你在後面的N=k+1情形的證明中，也有疑問：你令E=P+Q，形成k個國家的地圖，按歸納假設，可4-著色，這時的著色是不可隨意區域性變動的！我估計你為了對於P和Q進行著色，好像對於原來E（=P+Q）的鄰國的著色做了變動，這可是有問題的！——被你改變了顏色的國家，為了保證鄰國不同色，其鄰國的顏色可能也不得不改了吧？！

附：陳陶的“簡證”：

三 引理

​引理1 不可能有五個國家處於這樣的位置，其中每個國家都和其餘四個國家相鄰（德.摩根定理。鄰國，即有共同邊界的國家）。

​引理2 在每一幅地圖中，至少有一國的鄰國個數不大於五（肯普定理）。

​引理3 以C國為“中心”，設C的鄰國個數為m，對這m個國家著色，若m是偶數，則用1與2相間著色；若m是奇數，則用1與2相間著色，最後一國著色3。把這種關於C國的鄰國的著色的模式記為H，簡稱為著色模式H（1、2、3、4為顏色程式碼，不會混淆。引理3實為“圈”著色最優原則）。

​四 證明四色猜想

​證明：眾所周知，對畫在一張紙（或地球儀）上的每一幅正規地圖著色，要使相鄰國著不同顏色，四種顏色是必需的。下面給出其嚴謹、簡明的證明，涉及的示意圖集中附於文後。

​Ⅰ若這n﹙n∈N，n≥1﹚個國家是連成一片的。

​①在這n個國家中，若不存在鄰國個數小於四的國家，即每個國家的鄰國個數都不小於四。由引理1知，滿足這個條件的國家個數不小於六。

​（1）當n=6時，每個國家的鄰國個數恰好都為四，其中，“中心”A國有四個鄰國，與這四個國家都相鄰的是R國，如圖一。對這六個國家著色，根據引理3，先構建關於A國（可任取）的著色模式H,把A國的四個鄰國用1與2相間著色；其次，緣著著色模式H，按符合四著色要求向外圍的國家逐個著色，外圍國家只有R國，著色3或4；再次，A國著色3或4。這時，四色猜想成立。

​（2）假設n=k（k∈N, k≥6）時，四色猜想都成立，且是在滿足引理3的著色模式H下，並按（1）的程式和四著色要求對k個國家完成著色。也就是說，在這幅地圖上任取一國作為中心國A，根據引理3，構建關於A的著色模式H，模式中的國家個數是奇數（不小於五）或偶數（不小於四）（這是因為每個國家的鄰國個數都不小於四），類似（1）分三步依次對k個國家完成著色，且都符合四著色要求。

​那麼，當n=k+1時，因每個國家的鄰國個數都不小於四，故，可任取兩個相鄰國家P和Q，將其視為一個國家E，這時，E國的鄰國個數仍不小於四。否則，在這兩個國家中必存在鄰國個數小於四的國家，這與“每個國家的鄰國個數都不小於四”矛盾。這樣處理後的國家個數是k，仍滿足相應的條件與歸納假設。由引理SPAN>知，滿足每個國家的鄰國個數都不小於四的條件的正規地圖，必有一個國家的鄰國個數是四或五，故，不妨取兩個相鄰的國家P和Q，且P的鄰國個數是四或五，將其視為一個國家E，構建關於E的著色模式H。若E的鄰國個數是不小於四的偶數，根據歸納假設，k個國家符合四著色要求，且P和Q不妨著色3。將P換為色4，k+1個國家也符合四著色要求。若E的鄰國個數是不小於五的奇數，一般可順利著色，如果遇到P和Q中有一國“無法著色”，本質上是著色模式的換色國的位置設定不當所致（僅示意圖的幾個國家也無法著色），如圖六，可透過調整著色模式予以解決。事實上，ⅰ，若P的鄰國個數是四，則Q的鄰國個數是不小於五的奇數（含P），將原著色模式中著色3（或4）的國家和P視為一個國家，新構建關於Q的著色模式T，不妨P著色2，如圖七，根據歸納假設，k個國家符合四著色要求。這時，原模式中餘下的一國顯然只能著色3（或4），不妨Q也著色3（或4）。將P換為色4（或3），k+1個國家也符合四著色要求。ⅱ，若P的鄰國個數是五，則Q的鄰國個數是不小於四的偶數（含P），新構建關於Q的著色模式T，不妨P著色1，如圖八，將原模式中餘下的兩個國家中的任一國和P視為一個國家，根據歸納假設，k個國家符合四著色要求。這時，原模式中最後餘下的一國顯然只能著色3（或4），不妨Q也著色3（或4）。將P換為色4（或3），k+1個國家也符合四著色要求。這就是說，當國家個數n＝k+1時，四色猜想也成立。到此，歸納完成。

​②在這n個國家中，若存在鄰國個數小於四的O國。（1）當n=1、2時，四色猜想顯然成立。（2）假設n=k ( k∈N, k≥2)時，四色猜想都成立。那麼，當n=k+1時，暫不考慮O國，對其餘的k個國家著色，根據歸納假設或①的論證（即除O國外，無論是否有鄰國個數小於四的國家），其著色都符合四著色要求，又因為O國的鄰國個數小於四，所以，O國的鄰國著色不超過三種顏色，從而，O國至少可用第四種顏色著色。這就是說，當n=k+1時，四色猜想也成立。到此，歸納完成。

​Ⅱ若這n（n∈N，n≥2）個國家不是連成一片的。這時，這幅地圖的n個國家至少由兩片組成，且每一片的國家個數（至少有一個）和位置關係無論怎樣，根據Ⅰ的論證每一片的國家著色都符合四著色要求，即四色猜想成立。綜上所述，對國家個數為n（n ∈N﹡）的每一幅正規地圖，四色猜想都成立；且成為四色定理