分數方程無解：

1、分式方程有增根。

2、x的係數不為0。

如：

向左轉|向右轉

方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程；若遇到互為相反數時。不要忘了改變符號。

(最簡公分母：係數取最小公倍數；未知數取最高次冪；出現的因式取最高次冪。）

求出未知數的值後必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值範圍，可能產生增根。

驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等於0，這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，則原方程無解。

如果分式本身約分了，也要代入進去檢驗。

在列分式方程解應用題時，不僅要檢驗所得解的是否滿足方程式，還要檢驗是否符合題意。

擴充套件資料：

一般的，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解。

注意：

（1）注意去分母時，不要漏乘整式項。

（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。

（3）増根使最簡公分母等於0。

（4）分式方程中，如果x為分母，則x應不等於0。

把x=a 帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0，則a是原方程的增根。若x=a使最簡公分母不為零，則a是原方程的根。

注意：可憑經驗判斷是否有解。若有解，帶入所有分母計算：若無解，帶入無解分母即可。

方程一定是等式，但等式不一定是方程。

例子：a+b=13 符合等式，有未知數。這個是等式，也是方程。

1+1=2 ，100×100=10000。這兩個式子符合等式，但沒有未知數，所以都不是方程。

總結：

①x²+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時，那麼kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)

參考資料：百度百科——分式方程

分式方程是初中數學必備的內容，也是中考的命題熱點，在分式方程的學習中需要注意以下幾方面的問題。

一、分式方程的認識

什麼是分式方程呢？分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

分式方程的概念比較簡單，分母中是否含有未知數是判斷分式方程的重要依據。判斷分式方程時，不能對方程進行約分、通分變形。

在分式方程的判斷中需要注意圓周率π是數值。不是字母，也就是說，分母中含有π的方程不一定是分式方程。

二、分式方程的解法

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程再解答，體現了轉化的思路。

解分式方程一般包含以下基本步驟：

①觀察分式方程的特徵，注意看分母，能分解因式的先分解，然後去尋找最簡公分數。

找最簡公分母的方法：將每個分母分解因式，找出所有出現因式的最高次冪，它們的積為最簡分母的因式。

②去分母，給分式方程中的每一項都乘最簡公分母，再約分，把原方程轉化為整式方程；

注意：去分母時要給每一項都乘以最簡公分母，不含分母的項不要忘乘最簡公分母。

這一步一般需要運用到整式的乘法、合併同類項、解一元一次方程或一元二次方程等知識點，之前的基礎不牢固的話，需要先去複習鞏固。

④驗根，將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，那麼整式方程的解是原分式方程的解；否則這個分式方程無解，x的值是這個分式方程的增根。

驗根很容易被忽視，最終的解只是分式方程化為整式方程之後的解，不一定能滿足分式方程的分母不為0這個條件，所以需要驗根。

看一道例題：

觀察這個分式方程，發現分母能分解因式，所以在尋找最簡公分母之前，先分解因式：

最簡公分母為（x-1）（x+1），

分式方程兩邊每一項都乘以最簡公分母，注意不要忘記給常數項1也乘以最簡公分母。

然後進行約分，結果如下:

熟練之後，以上兩步可以合併。

化為整式方程之後，進行下一步的計算，

整式乘法、

移項

合併同類項：

最終結果為：

別忘了驗根，可以將x的值代入分別代入原分式方程左右兩邊看是否相等；也可以將x的值代入最簡公分母中，檢驗最簡公分母是否為0。

在本題中，將x=1/2中，經檢驗，最簡公分母不為0，所以x=1/2是遠分式方程的解。

三、分式方程無解

在解分式方程的最後一步需要驗根，把整式方程的根代入最簡公分母中，使最簡公分母不等於零的值是原方程的根；使最簡公分母等於零的值是原方程的增根。

分式方程的增根需要滿足兩個條件：

▲①增根能使最簡公分母等於0.

▲②增根是去分母后所得整式方程的根．

為什麼會產生增根呢？

增根的產生是在解分式方程的第一步“去分母”時造成的.

根據方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數，所得的方程是原方程的同解方程。

如果方程的兩邊都乘以的數是0，那麼所得的方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根，即原分式方程無解。

看下面的這道題目：

驗根，將x=-1代入最簡公分母x（x+1）中，計算發現最簡公分母為0，則x=-1是原分式方程的增根，原分式分析無解。

四、分式方程中的字母引數問題

先來看看分式方程中涉及字母引數的兩種問題:

1、分式方程有增根，求字母引數的值。

根據增根的概念，增根是原分式方程化成的整式方程的解，即所化為的整式方程是有解的；這個解會讓最簡公分母為0.

觀察原分式方程，可得最簡公分母為x-2，分母中的（x-2）和（2-x）可以相互轉化，

有增根，說明了最簡公分母x-2=0，則可得x=2，求出了分式方程化為整式方程之後的解。

接下來，解原分式方程即可，注意將字母引數k先當成數字，

將x=2代入最後的式子中可得到關於k 的方程，解方程可得k=1.

也可以在去分母之後直接將x=2代入所化成的整式方程中，得到關於k的方程，解方程同樣可得k=2.

2、分式方程有無解，求字母引數的值。

分式方程無解的兩種情況：

▲①將分式方程透過去分母變為整式方程後，整式方程無解；

▲②整式方程求得的根使得原分式方程的最簡公分母為0，即求得的根為增根。

在沒有特殊說明的情況下，兩種情況都要考慮，不可忽略任何一種情況。

將上面的例題稍微做一改變，如：先來化簡原分式方程，注意將字母引數k先當成數字，與上面一樣，

第一種情況：將原分式方程透過去分母變為整式方程後，整式方程無解；

在本題中，

第二種情況：整式方程求得的根使得原分式方程的最簡公分母為0，即求得的根為增根。

在本題目中，

最終可得，當k=1或2時，原分式方程無解。

透過上面的兩道例題可得，在字母引數問題中要注意題意，到底是是有增根還是無解，是兩種不同的情況，無解包含著產生增根和化成的整式方程無解兩種情況。

來練習一道題目：