桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜裡，無論怎樣放，我們會發現至少會有一個抽屜裡面至少放兩個蘋果。這一現象就是我們所說的“抽屜原理”。 抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合裡至少有兩個元素。” 抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。它是組合數學中一個重要的原理。

抽屜原理

一、 知識要點

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狹利克雷明確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。

把3個蘋果放進2個抽屜裡，一定有一個抽屜裡放了2個或2個以上的蘋果。這個人所皆知的常識就是抽屜原理在日常生活中的體現。用它可以解決一些相當複雜甚至無從下手的問題。

原理1：把n+1個元素分成n類，不管怎麼分，則一定有一類中有2個或2個以上的元素。

原理2：把m個元素任意放入n（n＜m＝個集合，則一定有一個集合呈至少要有k個元素。

其中 k＝ （當n能整除m時）

〔 〕＋1 （當n不能整除m時）

（〔 〕表示不大於 的最大整數，即 的整數部分）

原理3：把無窮多個元素放入有限個集合裡，則一定有一個集合裡含有無窮多個元素。

二、 應用抽屜原理解題的步驟

第一步：分析題意。分清什麼是“東西”，什麼是“抽屜”，也就是什麼作“東西”，什麼可作“抽屜”。

第二步：製造抽屜。這個是關鍵的一步，這一步就是如何設計抽屜。根據題目條件和結論，結合有關的數學知識，抓住最基本的數量關係，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為使用抽屜鋪平道路。

第三步：運用抽屜原理。觀察題設條件，結合第二步，恰當應用各個原則或綜合運用幾個原則，以求問題之解決。

例1、 教室裡有5名學生正在做作業，今天只有數學、英語、語文、地理四科作業

求證：這5名學生中，至少有兩個人在做同一科作業。

證明：將5名學生看作5個蘋果

將數學、英語、語文、地理作業各看成一個抽屜，共4個抽屜

由抽屜原理1，一定存在一個抽屜，在這個抽屜裡至少有2個蘋果。

即至少有兩名學生在做同一科的作業。

例2、 木箱裡裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若矇眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？

解：把3種顏色看作3個抽屜

若要符合題意，則小球的數目必須大於3

大於3的最小數字是4

故至少取出4個小球才能符合要求

答：最少要取出4個球。

例3、 班上有50名學生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個學生能得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學生看作50個抽屜，把書看成蘋果

根據原理1，書的數目要比學生的人數多

即書至少需要50+1=51本

答：最少需要51本。

例4、 在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。

解：把這條小路分成每段1米長，共100段

每段看作是一個抽屜，共100個抽屜，把101棵樹看作是101個蘋果

於是101個蘋果放入100個抽屜中，至少有一個抽屜中有兩個蘋果

即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹

例5、 11名學生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本

試證明：必有兩個學生所借的書的型別相同

證明：若學生只借一本書，則不同的型別有A、B、C、D四種

若學生借兩本不同型別的書，則不同的型別有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種

共有10種類型

把這10種類型看作10個“抽屜”

把11個學生看作11個“蘋果”

如果誰借哪種型別的書，就進入哪個抽屜

由抽屜原理，至少有兩個學生，他們所借的書的型別相同

例6、 有50名運動員進行某個專案的單迴圈賽，如果沒有平局，也沒有全勝

試證明：一定有兩個運動員積分相同

證明：設每勝一局得一分

由於沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能

以這49種可能得分的情況為49個抽屜

現有50名運動員得分

則一定有兩名運動員得分相同

例7、 體育用品倉庫裡有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？

解題關鍵：利用抽屜原理2。

解：根據規定，多有同學拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍｝｛足足｝｛排排｝｛藍藍｝｛足排｝｛足藍｝｛排藍｝

以這9種配組方式製造9個抽屜

將這50個同學看作蘋果

＝5.5……5

由抽屜原理2k＝〔 〕＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的分享給你的朋友