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  • 1 # 使用者1300318322382

    在別處複製過來的,看著好複雜,樓主慢慢看吧。感覺所有的貸款計算方法都差不多,就是利率不同而已。本金還款和利息還款:

    月還款額=當月本金還款+當月利息 式1

    其中本金還款是真正償還貸款的。每月還款之後,貸款的剩餘本金就相應減少:

    當月剩餘本金=上月剩餘本金-當月本金還款

    直到最後一個月,全部本金償還完畢。

    利息還款是用來償還剩餘本金在本月所產生的利息的。每月還款中必須將本月本金所產生的利息付清:

    當月利息=上月剩餘本金×月利率 式2

    其中月利率=年利率÷12。據傳工商銀行等某些銀行在進行本金等額還款的計算方法中,月利率用了一個挺孫子的演算法,這裡暫且不提。

    由 上面利息償還公式中可見,月利息是與上月剩餘本金成正比的,由於在貸款初期,剩餘本金較多,所以可見,貸款初期每月的利息較多,月還款額中償還利息的份額 較重。隨著還款次數的增多,剩餘本金將逐漸減少,月還款的利息也相應減少,直到最後一個月,本金全部還清,利息付最後一次,下個月將既無本金又無利息,至 此,全部貸款償還完畢。

    兩種貸款的償還原理就如上所述。上述兩個公式是月還款的基本公式,其他公式都可由此匯出。下面我們就基於這兩個公式推導一下兩種還款方式的具體計算公式。

    1. 等額本金還款方式

    等額本金還款方式比較簡單。顧名思義,這種方式下,每次還款的本金還款數是一樣的。因此:

    當月本金還款=總貸款數÷還款次數

    當月利息=上月剩餘本金×月利率

    =總貸款數×(1-(還款月數-1)÷還款次數)×月利率

    當月月還款額=當月本金還款+當月利息

    =總貸款數×(1÷還款次數+(1-(還款月數-1)÷還款次數)×月利率)

    總利息=所有利息之和

    =總貸款數×月利率×(還款次數-(1+2+3+。。。+還款次數-1)÷還款次數)

    其中1+2+3+…+還款次數-1是一個等差數列,其和為(1+還款次數-1)×(還款次數-1)/2=還款次數×(還款次數-1)/2

    所以,經整理後可以得出:

    總利息=總貸款數×月利率×(還款次數+1)÷2

    由於等額本金還款每個月的本金還款額是固定的,而每月的利息是遞減的,因此,等額本金還款每個月的還款額是不一樣的。開始還得多,而後逐月遞減。

    2. 等額本息還款方式

    等額本息還款方式的公式推導比較複雜,不過也不必擔心,只要具備高中數列知識就可以推匯出來了。

    等額本金還款,顧名思義就是每個月的還款額是固定的。由於還款利息是逐月減少的,因此反過來說,每月還款中的本金還款額是逐月增加的。

    首先,我們先進行一番設定:

    設:總貸款額=A

    還款次數=B

    還款月利率=C

    月還款額=X

    當月本金還款=Yn(n=還款月數)

    先說第一個月,當月本金為全部貸款額=A,因此:

    第一個月的利息=A×C

    第一個月的本金還款額

    Y1=X-第一個月的利息

    =X-A×C

    第一個月剩餘本金=總貸款額-第一個月本金還款額

    =A-(X-A×C)

    =A×(1+C)-X

    再說第二個月,當月利息還款額=上月剩餘本金×月利率

    第二個月的利息=(A×(1+C)-X)×C

    第二個月的本金還款額

    Y2=X-第二個月的利息

    =X-(A×(1+C)-X)×C

    第二個月剩餘本金=第一個月剩餘本金-第二個月本金還款額

    =A×(1+C)-X-(X-(A×(1+C)-X)×C)

    =A×(1+C)-X-X+(A×(1+C)-X)×C

    =A×(1+C)×(1+C)-[X+(1+C)×X]

    =A×(1+C)^2-[X+(1+C)×X]

    (1+C)^2表示(1+C)的2次方

    第三個月,

    第三個月的利息=第二個月剩餘本金×月利率

    第三個月的利息=(A×(1+C)^2-[X+(1+C)×X])×C

    第三個月的本金還款額

    Y3=X-第三個月的利息

    =X-(A×(1+C)^2-[X+(1+C)×X])×C

    第三個月剩餘本金=第二個月剩餘本金-第三個月的本金還款額

    =A×(1+C)^2-[X+(1+C)×X]

    -(X-(A×(1+C)^2-[X+(1+C)×X])×C)

    =A×(1+C)^2-[X+(1+C)×X]

    -(X-(A×(1+C)^2×C+[X+(1+C)×X])×C)

    =A×(1+C)^2×(1+C)

    -(X+[X+(1+C)×X]×(1+C))

    =A×(1+C)^3 -[X+(1+C)×X+(1+C)^2×X]

    上式可以分成兩個部分

    第一部分:A×(1+C)^3。

    第二部分:[X+(1+C)×X+(1+C)^2×X]

    =X×[1+(1+C)+(1+C)^2]

    透過對前三個月的剩餘本金公式進行總結,我們可以看到其中的規律:

    剩餘本金中的第一部分=總貸款額×(1+月利率)的n次方,(其中n=還款月數)

    剩餘本金中的第二部分是一個等比數列,以(1+月利率)為比例係數,月還款額為常數係數,項數為還款月數n。

    推廣到任意月份:

    第n月的剩餘本金=A×(1+C)^n -X×Sn(Sn為(1+C)的等比數列的前n項和)

    根據等比數列的前n項和公式:

    1+Z+Z2+Z3+...+Zn-1=(1-Z^n)/(1-Z)

    可以得出

    X×Sn=X×(1-(1+C)^n)/(1-(1+C))

    =X×((1+C)^n-1)/C

    所以,第n月的剩餘本金=A×(1+C)^n-X×((1+C)^n-1)/C

    由於最後一個月本金將全部還完,所以當n等於還款次數時,剩餘本金為零。

    設n=B(還款次數)

    剩餘本金=A×(1+C)^B-X×((1+C)^B-1)/C=0

    從而得出

    月還款額

    X=A×C×(1+C)^B÷((1+C)^B-1)

    =  總貸款額×月利率×(1+月利率)^還款次數÷[(?000保 呂 剩 還款次數-1]

    將X值帶回到第n月的剩餘本金公式中

    第n月的剩餘本金=A×(1+C)^n-[A×C×(1+C)^B/((1+C)^B-1)]×((1+C)^n-1)/C

    =A×[(1+C)^n-(1+C)^B×((1+C)^n-1)/((1+C)^B-1)]

    =A×[(1+C)^B-(1+C)^n]/((1+C)^B-1)

    第n月的利息=第n-1月的剩餘本金×月利率

    =A×C×[(1+C)^B-(1+C)^(n-1)]/((1+C)^B-1)

    第n月的本金還款額=X-第n月的利息

    =A×C×(1+C)^B/((1+C)^B-1)-A×C×[(1+C)^B-(1+C)^(n-1)]/((1+C)^B-1)

    =A×C×(1+C)^(n-1)/((1+C)^B-1)

    總還款額=X×B

    =A×B×C×(1+C)^B÷((1+C)^B-1)

    總利息=總還款額-總貸款額=X×B-A

    =A×[(B×C-1)×(1+C)^B+1]/((1+C)^B-1)

    等額本息還款,每個月的還款額是固定的。由於還款初期利息較大,因此初期的本金還款額很小。相對於等額本金方式,還款的總利息要多。

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