1利用待定常數法(重點）
例1 已知數列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求數列的通項公式n.
分析：若關係式是n+1=3n即為等比數列，因此考慮處理-4，若能化為n+1+x=3(n+x),則可構造等比數列｛n+x｝。
解：設n+1=3n-4恆等變形為n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比較係數得：x=-2
n+1-2=3(n-2)
數列｛n-2｝是以1-2=-1為首項，公比為3的等比數列
n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2.
說明：給出一階遞推關係式形如 (n=1,2,…),A、B為常數，均可使用待定常數法，構造等比數列求出通項。
例2 已知數列｛n ｝中，前n項和sn = 2n-3n, 求數列的通項公式n.
分析：已知等式中不是遞推關係式，利用可轉化為：n -2n-1=2,考慮3n-1是變數，引入待定常數x時，可設n- x=2(n-1- x),從而可構造等比數列。
解：1=s1=21-3 則1=3，
當n2時， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,設其可恆等變形為：n- x=2(n-1- x)，（需要注意的是上面的指數，這是某種關係而不是固定的常數，故在恆等變形時需注意兩邊對應的關係，而不應該用X代替x，也可以不設“-”設“+”，結果是一樣的。）
即 n -2n-1=x ,比較係數得：x=2.
n- 2=2(n-1- 2 )
數列｛n- 2｝是以1-6=-3為首項，公比為2的等比數列。
n- 2=（-3）2n-1
n=2-3.
說明：對於型如n=An-1+f(n)（A為常數）的一階遞推關係式。可利用待定常數法，構造等比數列；但須體現新數列相鄰兩項的規律性，設其可恆等變形為：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,則可構造等比數列{ n- xg(n)}。
2 利用配方法
有些遞推關係式經“配方”後，可體現等差（比）的規律性。
例3 設n0，1=5，當n2時，n+n-1=+6, 求數列的通項公式n。
分析：給出的遞推關係式不能反映規律性，因此考慮去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),為體現規律性，變形為：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7.
解：由n+n-1=+6（n2）變形為：
2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2）
數列{ }是以(1-3)2=4為首項，公差為7的等差數列
=4+7（n-1）=7n-3，而n0
n=+3
說明：遞推關係式中含有二次項、一次項時可考慮用配方法，揭示規律，構造等差（比）數列。
3 利用因式分解
有些遞推關係式經因式分解後，可體現等差（比）的規律性。
例4已知數列｛n ｝是首項為1的正項數列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求數列的通項公式n。
分析:由已知遞推關係式，若配方，則無法配成完全平方或完全平方項之和。因此考慮用因式分解化簡，尋求更實質的關係。可變形為：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。
解：由已知有：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0
（n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n0
n+1 + 3 -2n=0，則利用待定常數法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0
數列{n -3}是以1-3=-2為首項，公比為2的等比數列。
n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n
說明：因式分解能達到化簡的目的，使遞推關係式簡化，凸顯規律性。
5 利用倒數
有些數列的遞推關係式，經取倒數變形後，顯現出規律性，可構造等比（差）數列。
例7 已知x1=1,x2=2,xn+ 2=,試求xn 。
分析：由遞推關係式結構特徵，易聯想到倒數，即有 xn+2 =，從而
=，可構造等比數列。
解：對遞推關係式兩邊取倒數得：=
可變形為=（-）（）
數列{}是以=-為首項，公比為-的等比數列
=（-）(-= (n2)
=+()+()+ … +()
= 1 + （-）+（-）2 + … +
= + (n2)
= (n2) 而當n=1時亦滿足。
= (n1)
說明：遞推關係式中含有相鄰兩項之積與相鄰兩項之和的關係，可考慮取倒數（或化為分式），揭示規律，構造等比（差）數列。
例8已知數列｛n ｝中，1=7，n2時，，求數列的通項公式n
分析：已知遞推關係式右邊為分式，取倒數後可化為：，未能反映規律，
但若能化為的關係，則可揭示規律；結合待定常數法，可確定A值。
解：由已知： （A0）即(2A+1≠0)
令，解得：A=1
已知關係式可恆等變形為，取倒數得： （n2）。
數列{}是以=為首項，公差為的等差數列。
= +（n-1）,即 （n1）
說明：①例8中的遞推關係式結構特徵，亦易想到取倒數，但要靈活結合待定常數法，構造新數列，凸顯等差的規律性。
②引入待定常數A是為了揭示變化的一致性（規律性），若A值存在，則可反映此變化規律。若A值不存在，則考慮其它變形。
6 利用換元
有些數列的遞推關係式看起來較為複雜，但應用換元和化歸思想後，可構造新數列進行代換，使遞推關係式簡化，從而揭示等差（比）規律，求出通項。
例9已知數列｛an ｝中， 求（1981年第22屆IMO預選題）。
分析：已知遞推關係式中的較難處理，考慮用換元去掉根式，即令（0）。
解：令，則=5， 0，從而=
由已知遞推關係式有：
化簡得：=（）2
2=， 由待定常數法得：2（-3）= -3
數列{-3}是以-3=2為首項，公比為的等比數列。
-3=2（）n-1 即 = + 3
== (n1)
說明：對於遞推關係式中較難處理的根式（比如不能反映相鄰項的規律性），可採用換元去掉根式，化簡遞推關係式，揭示相鄰項的變化規律，構造等比（差）數列。
例10 設=1，=（nN）,求證：（1990年匈牙利奧林匹克試題）。
分析：比較已知與結論，應先求通項公式。待證的不等式中含有，且已知遞推關係式中含有，據此兩個資訊，考慮進行三角代換，化簡遞推關係式。
證明：由已知0，引入數列{}使=tan,(0,)
由已知有：=
即=，又=1，，從而
即數列{}是以為首項，公比為的等比數列
= = ， 而當x(0,)時，有tanxX
= tan
說明：對於遞推關係式中，型如可考慮採用三角代換，化簡遞推關係式，揭示規律性。
總之，構造等比（差）數列關鍵在於抓住遞推關係式的結構特徵，選擇恰當方法進行恆等變形，往往能揭示等比（差）規律，順利求出通項。
參考文獻：
⑴ 羅增儒. 遞推數列.«高考到競賽»（數學），陝西師範大學出版社，2002，7。
⑵ 陳傳理、劉詩雄. 遞推數列.«高中數學競賽名師講座»，華中師範大學出版社，1993，4。
⑶ 秦永. 遞推數列.中學數學教學參考（陝西師範大學），2003（4）。
⑷ 樊友年.構造法解數列綜合題. 中學數學教學參考，2002（7）。
1利用待定常數法(重點）
例1 已知數列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求數列的通項公式n.
分析：若關係式是n+1=3n即為等比數列，因此考慮處理-4，若能化為n+1+x=3(n+x),則可構造等比數列｛n+x｝。
解：設n+1=3n-4恆等變形為n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比較係數得：x=-2
n+1-2=3(n-2)
數列｛n-2｝是以1-2=-1為首項，公比為3的等比數列
n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2.
說明：給出一階遞推關係式形如 (n=1,2,…),A、B為常數，均可使用待定常數法，構造等比數列求出通項。
例2 已知數列｛n ｝中，前n項和sn = 2n-3n, 求數列的通項公式n.
分析：已知等式中不是遞推關係式，利用可轉化為：n -2n-1=2,考慮3n-1是變數，引入待定常數x時，可設n- x=2(n-1- x),從而可構造等比數列。
解：1=s1=21-3 則1=3，
當n2時， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,設其可恆等變形為：n- x=2(n-1- x)，（需要注意的是上面的指數，這是某種關係而不是固定的常數，故在恆等變形時需注意兩邊對應的關係，而不應該用X代替x，也可以不設“-”設“+”，結果是一樣的。）
即 n -2n-1=x ,比較係數得：x=2.
n- 2=2(n-1- 2 )
數列｛n- 2｝是以1-6=-3為首項，公比為2的等比數列。
n- 2=（-3）2n-1
n=2-3.
說明：對於型如n=An-1+f(n)（A為常數）的一階遞推關係式。可利用待定常數法，構造等比數列；但須體現新數列相鄰兩項的規律性，設其可恆等變形為：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,則可構造等比數列{ n- xg(n)}。
2 利用配方法
有些遞推關係式經“配方”後，可體現等差（比）的規律性。
例3 設n0，1=5，當n2時，n+n-1=+6, 求數列的通項公式n。
分析：給出的遞推關係式不能反映規律性，因此考慮去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),為體現規律性，變形為：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7.
解：由n+n-1=+6（n2）變形為：
2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2）
數列{ }是以(1-3)2=4為首項，公差為7的等差數列
=4+7（n-1）=7n-3，而n0
n=+3
說明：遞推關係式中含有二次項、一次項時可考慮用配方法，揭示規律，構造等差（比）數列。
3 利用因式分解
有些遞推關係式經因式分解後，可體現等差（比）的規律性。
例4已知數列｛n ｝是首項為1的正項數列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求數列的通項公式n。
分析:由已知遞推關係式，若配方，則無法配成完全平方或完全平方項之和。因此考慮用因式分解化簡，尋求更實質的關係。可變形為：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。
解：由已知有：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0
（n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n0
n+1 + 3 -2n=0，則利用待定常數法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0
數列{n -3}是以1-3=-2為首項，公比為2的等比數列。
n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n
說明：因式分解能達到化簡的目的，使遞推關係式簡化，凸顯規律性。
5 利用倒數
有些數列的遞推關係式，經取倒數變形後，顯現出規律性，可構造等比（差）數列。
例7 已知x1=1,x2=2,xn+ 2=,試求xn 。
分析：由遞推關係式結構特徵，易聯想到倒數，即有 xn+2 =，從而
=，可構造等比數列。
解：對遞推關係式兩邊取倒數得：=
可變形為=（-）（）
數列{}是以=-為首項，公比為-的等比數列
=（-）(-= (n2)
=+()+()+ … +()
= 1 + （-）+（-）2 + … +
= + (n2)
= (n2) 而當n=1時亦滿足。
= (n1)
說明：遞推關係式中含有相鄰兩項之積與相鄰兩項之和的關係，可考慮取倒數（或化為分式），揭示規律，構造等比（差）數列。
例8已知數列｛n ｝中，1=7，n2時，，求數列的通項公式n
分析：已知遞推關係式右邊為分式，取倒數後可化為：，未能反映規律，
但若能化為的關係，則可揭示規律；結合待定常數法，可確定A值。
解：由已知： （A0）即(2A+1≠0)
令，解得：A=1
已知關係式可恆等變形為，取倒數得： （n2）。
數列{}是以=為首項，公差為的等差數列。
= +（n-1）,即 （n1）
說明：①例8中的遞推關係式結構特徵，亦易想到取倒數，但要靈活結合待定常數法，構造新數列，凸顯等差的規律性。
②引入待定常數A是為了揭示變化的一致性（規律性），若A值存在，則可反映此變化規律。若A值不存在，則考慮其它變形。
6 利用換元
有些數列的遞推關係式看起來較為複雜，但應用換元和化歸思想後，可構造新數列進行代換，使遞推關係式簡化，從而揭示等差（比）規律，求出通項。
例9已知數列｛an ｝中， 求（1981年第22屆IMO預選題）。
分析：已知遞推關係式中的較難處理，考慮用換元去掉根式，即令（0）。
解：令，則=5， 0，從而=
由已知遞推關係式有：
化簡得：=（）2
2=， 由待定常數法得：2（-3）= -3
數列{-3}是以-3=2為首項，公比為的等比數列。
-3=2（）n-1 即 = + 3
== (n1)
說明：對於遞推關係式中較難處理的根式（比如不能反映相鄰項的規律性），可採用換元去掉根式，化簡遞推關係式，揭示相鄰項的變化規律，構造等比（差）數列。
例10 設=1，=（nN）,求證：（1990年匈牙利奧林匹克試題）。
分析：比較已知與結論，應先求通項公式。待證的不等式中含有，且已知遞推關係式中含有，據此兩個資訊，考慮進行三角代換，化簡遞推關係式。
證明：由已知0，引入數列{}使=tan,(0,)
由已知有：=
即=，又=1，，從而
即數列{}是以為首項，公比為的等比數列
= = ， 而當x(0,)時，有tanxX
= tan
說明：對於遞推關係式中，型如可考慮採用三角代換，化簡遞推關係式，揭示規律性。
總之，構造等比（差）數列關鍵在於抓住遞推關係式的結構特徵，選擇恰當方法進行恆等變形，往往能揭示等比（差）規律，順利求出通項。
參考文獻：
⑴ 羅增儒. 遞推數列.«高考到競賽»（數學），陝西師範大學出版社，2002，7。
⑵ 陳傳理、劉詩雄. 遞推數列.«高中數學競賽名師講座»，華中師範大學出版社，1993，4。
⑶ 秦永. 遞推數列.中學數學教學參考（陝西師範大學），2003（4）。
⑷ 樊友年.構造法解數列綜合題. 中學數學教學參考，2002（7）。