很多人都說數學的基礎是公理。平面幾何的基礎是歐幾里德的公理，定義自然數的是皮亞諾的五條公理，而現代數學的基礎則是策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理。到底什麼是公理，特別是數學公理呢？簡單地說，所謂公理就是出發點，也就是事情還沒開始，大家都約定肯定成立的前提條件。

1. 數學公理化方法的萌芽

古希臘是當時歐洲商業的中心, 在長達一千多年的光輝燦爛的希臘文化中, 數學更加絢麗多彩。在數學發展史上, 最原始最有影響的公理系統, 是歐幾里得(Euclid, 約公元前330 — 公元前275) 所建立的初等幾何公理系統。這個公理系統乃是他的世界名著《原本》的理論基礎。

然而, 遠在歐幾里得之前,在古代巴比倫人、埃及人和希臘人那裡, 就已產生了公理化思想的萌芽。公元前六世紀時期, 希臘數學的鼻祖泰勒斯(Thales, 約公元前624 – 公元前547)就把邏輯論證引入於數學之中。及至希伯索斯(Hippasus) 發現無公度線段之後, 畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前580 — 公元前497) 學派即逐步認識到直觀、經驗和實踐並非絕對可靠,希望對過去由經驗而直接得到的幾何知識都能夠用嚴格的邏輯推理來加以證明。

柏拉圖(Plato, 公元前427 — 公元前347) 曾經提出:“迫使靈魂用抽象的數來進行推理, 而厭棄在辯論中引入可見的和可捉摸的現象”。亞里士多德(Aristotle, 公元前384 —公元前322) 認為秩序和對稱是美的主要因素, 但二者都可以在數學中找到。很多數學史家都認為數學公理化思想的萌芽始自於亞里士多德的著作。

我們前面講過歐幾里得的幾何原本。這部書就是描述歐氏幾何。書的開篇就有幾大公理和公設。幾何原本有5大公理，這五個公理對我們普通人來說，簡直就是不用想也應該是對的。第一就是等於同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量減等量其差相等。第四是彼此能重合的物體是全等的。第五是整體大於區域性。這五點，按照我們普通人常識思維肯定是成立的。

另外還有5大公設，除了第五大公設平行公設後來發現可以有其它路徑外，其它四個都是關於點，圓，線的作圖，應該也沒有問題。簡單說，前四大公設為，1.兩點可以做一條直線，2.直線可以延長，3.任意點加一個長度可以畫個圓，4.所有直角都是相等的。四大公設一看也是顯然成立的。

從這十點出發，歐幾里得通過幾何原本勾畫出了整個歐氏幾何，也是我們中學學過的幾何內容。我們學的時候，看不出任何問題。

2. 公理化方法的完善階段

十九世紀俄國年輕數學家H.N. 羅巴切夫斯基Lobatchevsky (1793 — 1856) 認真分析了前人的經驗與教訓, 大膽地提出一個新觀念: 可能會存在第五公設不能成立的新幾何系統。在這種思想的指導下, 他一舉而創立了羅巴切夫斯基幾何學, 簡稱羅氏幾何學, 又稱為雙曲幾何學。

非歐幾何學的建立, 不僅為公理化方法的進一步發展奠定了基石, 而且為新數學理論的發現提供了先例。

20世紀20年代，在集合論不斷髮展的基礎上，大數學家希爾伯特向全世界的數學家丟擲了個宏偉計劃，其大意是建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的"完備性";希爾伯特還要求公理體系保持"獨立性"和"無矛盾性"。希爾伯特的計劃也確實有一定的進展，幾乎全世界的數學家都樂觀地看著數學大廈即將竣工。

希爾伯特於1899 年出版了《幾何學基礎》一書,該書被譽為半形式化公理學的代表作, 同時他也是舉世公認的“現代數學中公理化方法的奠基人”。他在該書中提出了一個比較完美的初等幾何公理系統, 其中包含6個基本概念“點”、“直線”、“平面”、“屬於”、“介於”、“合同於” (前3個基本概念一般稱之為基本元素, 後3個基本概念一般稱之為基本關係), 以及描繪這6個基本概念之間相互關係的20條基本命題。實際上,這20條基本命題即是這6個基本概念的隱定義。對於基本命題,也可稱之為公理條文，

有了這些公理，任何幾何方面的問題，我們都可以解決。這也叫做公理系統的完備性。不完備的公理系統，在希爾伯特眼裡也是不完美的。同樣簡單地說，一個幾何題，我們肯定是做得出來的，如果做不出來，那公理就不完備了。

我們還真不能怪希爾伯特鑽牛角尖。因為當時除了歐幾里得的幾何公理，還有其它一些數學的公理體系。最叫人擔心的就是數的公理，也就是希爾伯特在他的第二個問題中提到的算術公理。這套公理定義了數和數的運算規則，它又叫做皮亞諾公理，是義大利數學家皮亞諾提出的，公理總共有九條，粗看看也都是顯然的。不過由於希爾伯特時代，數論還是有很多懸而未決的問題，也許希爾伯特直覺感到皮亞諾公理體系有缺陷，所以提出要數學家來證明這個皮亞諾公理體系是相容完備的。

3. 公理化方法的形式化階段

如果沒有康託的抽象集合論和數理邏輯的近代發展, 數學公理方法的形式化也不可能獲得新的進展。

公理化方法的形式化,不僅推動著數學基礎的研究, 而且還推動著現代演算法的研究, 併為數學應用於電子計算機等現代科學技術開闢了新的前景。然而, 含內容的公理學在一定場合下, 仍然是一種有用的數學方法, 它的功效和作用, 是不可能完全為形式化公理方法所代替的。歐幾里德的初等幾何公理系統, 在當前的中學數學教學中仍然具有重大參考價值。

除此而外, 還應該看到: 希爾伯特想把全部數學都納入於公理化方法形式化的宏偉規劃中去的願望, 已經由奧地利數學家哥德爾(G¨odel) 在1931年發表的“不完全性定理”所表明: 那是永遠不能徹底實現的。

在探索皮亞諾公理系統相容性的過程中，另外一個超級天才又進入了數學家的視野，那就是英國數學家羅素。

羅素的天才在於他能把人的邏輯思維非常簡明的描繪出來，所以後人也把羅素稱為邏輯大師。同時羅素又被人贊為哲學家，這在數學家中並不多見（可能只有笛卡爾有哲學家的稱號）。哲學家的厲害之處，在於用簡明的語言點出了深奧的人生道理，讓你不得不佩服。羅素把數理邏輯發展成了一門哲學學科，足見他功底之深。

當然，羅素在數學上最叫人記住的，不是他的深奧理論，而是他發現了集合論的矛盾，現在也叫做羅素悖論。這個悖論甚至引發了第三次數學危機，可見其影響程度之深。

4. 結構主義是公理化方法的新發展

羅素悖論激發了羅素想建立有確定性數學體系的決心。因為有問題有困難才體現天才的價值，所以他提出了一系列公理，試圖化解這個集合悖論，並寫出了鉅著《數學原理》，企圖建立一個完美的數學體系，這個數學體系沒有悖論，一切由公理出發，所有問題都可以解決。

1933 年在法國出現一個以布林巴基(Bourbaki) (這是法國曆史上一位戰功卓著的將軍) 為筆名的青年數學家集團,他們用結構主義觀點, 寫成一本皇皇鉅著《數學原本》,從1939 年到1983年, 已經出版40冊。從本質上來說, 結構主義乃是形式化公理方法在方法論上的新發展, 形式化公理方法是著眼於探討每個數學分支的公理化, 而結構主義則是著眼於探討整個數學大廈的公理化, 他們先從全域性上來分析各個數學分支之間的結構差異和內在聯絡, 然後再對每門數學深入分析其基本結構的組成形式。與形式化公理方法相比, 結構主義則是對數學理論的更高一步、更深一層的抽象和概括。這樣做不僅有助於發掘各個數學理論之間的內在親緣關係, 解除數學理論之中的非本質界限, 而且有助於擴大數學理論的應用範圍。

布林巴基學派原來設想把數學結構的研究, 從一個分支轉移到另一個分支, 直至數學的一些很僻遠的領域之中。今天看來, 這個學派已很難實現他們的全部計劃。

正是這部《數學原理》引起了另一個數學天才的注意，並從而推倒了所有數學公理體系成立的可能，這個天才就是哥德爾！1931年，在希爾伯特提出計劃不到3年，年輕的哥德爾就使希爾伯特的夢想變成了令人沮喪的噩夢。哥德爾證明:任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，"無矛盾"和"完備"是不能同時滿足的!這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。

哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數學家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。某種意義上，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎大數學家外爾發出這樣的感嘆:"上帝是存在的，因為數學無疑是相容的;魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。"

哥德爾不完全性定理的影響如此之廣泛，難怪哥德爾會被看作當代最有影響力的智慧巨人之一，受到人們的永恆懷念。美國《時代》雜誌曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數學家中，排在第一的就是哥德爾。

公理是大家都能夠直接接受，無需證明的幾何性質。數學家把它總結出來，寫到書本上，大家在做幾何證明題時，公理作為已知條件，供大家運用。公理是普通人也能一看就明白的幾何原理。歐幾里得《幾何原本》中的五大公設，就是這樣的公理，僅第五公設不夠完備，在數學界一直有爭議，使得非歐幾何產生，其中黎曼幾何球面上的三角形，內角和大於180度，而歐氏幾何認為三角形內角是等於180度的，但是，數學家高斯透過研究，認為這兩種幾何是相容的，不過,他沒有具體說明相容點在哪。這實際遷涉到第五公設的不完備性，因為透過能夠組成圓的等腰三角形，我們可以知道，在平面上，頂角等於和小於3.6度的等腰三角形，內角和也大於180度，它的底邊直線與兩條腰的直線是垂直相交的，這就是第五公設未考慮到的，而公設是不允許有幾何性質遺漏的。主要是歐幾里德時代非歐幾何沒有誕生，很難讓人考慮到三角形內角會大於180度，更何況這其中包含著平直向彎曲直接過度的深度幾何原理，前人考慮不到，在情理之中。就算是公理，也不是人人都能主動去發現的，否則，豈不人人都能當上歐幾里德那樣的大數學家。數學家把公理總結出來了，普通人才知道是這麼回事，這就是區別。狗都知道走直角三角形弦邊抄近道，只有人才能真正知道，兩直角邊的和，大於第三邊的道理。