首先需要回顧一下定義， 無差異曲線：使消費者處於同一個效用下的所有消費組合的集合。換句話說，對於一條無差異曲線而言，上面的每一個點對於消費者來說帶來的效用都是一樣的，是“沒有差異的”。如果給出了消費者效用函式，給定一個效用水平，形象地來看，我們可以透過描點的方式把這些點在座標圖中一個一個找出來，它們共同構成了一條無差異曲線。 透過上面的定義我們可以知道，效用函式決定了無差異曲線的形狀。無差異曲線其實類似於等高線，等高線是在二維平面上描繪具有相同高度的空間中的點對應到地表上的情況，無差異曲線則是在二維平面上描繪具有相同效用值的消費組合。（當然這裡我們把問題簡化為只有兩種消費品的情況，也就是書上常見的例子。） 那麼為什麼凹的效用函式會導致凸的無差異曲線呢，我用低維空間的例子來說明。 簡單地講什麼叫凹函式和凸函式：想象一個函式曲線，如果在函式上任意兩點之間連線一條直線，倘若這條直線完全處於兩個端點之間的函式曲線的下方，那麼這樣的函式就叫做凹函式。反過來看，如果這條直線完全處於函式曲線的上方，那麼這樣的函式就叫做凸函式。（注意這是國際標準定義，和國內的高數教材上的定義不一樣。） 凹函式的具體例子：比如一個倒扣的碗，假如函式形狀和碗壁一樣，任意連線碗壁上的兩點，所得的直線一定在碗的內部，也就是在兩點之間的函式曲面下方，那麼這是一個凹函式。 凸函式的具體例子：一個正常擺放的碗，任意連線碗壁上的兩點，所得的直線一定在兩點間函式曲線的上方，那麼這是一個凸函式。或者教科書上常見的無差異曲線，顯然也是凸函式。 為什麼凹的效用函式決定了凸的無差異曲線呢？ 回憶無差異曲線和效用函式之間的關係，大致可以想象出來。如果效用函式像倒扣的碗一樣，是一個凹函式，當然不能是整個碗，只能是豎著劈開一刀剩餘一半的碗的形狀（因為效用函式是非遞減的）。那麼上面所有高度相等的點的連線所對應的桌面上的位置，是不是就像地圖上的等高線一樣？如果給出了（0,0）原點，它們一定是凸向原點的。這種凸向原點的形狀不正就是二維平面的凸函式的形狀麼。所以，透過這個簡陋的對比，應該會發現凹的效用函式決定凸的無差異曲線的原因了。 這個結論在數學上有非常嚴格的證明，而且也並不侷限於三維空間，也就是說在有多種消費品的效用函式情況下，結論也是成立的。 至於另外一個問題，不是嚴格的凹或者不是嚴格的凸，形象地想象，就是函式曲線上出現了一段直線，連線這段直線上的兩點得到的直線就在函式曲線上，既不在函式的上方也不在函式的下方，所以這時候函式就不是嚴格的凹或者嚴格的凸了。那為什麼一階條件有多個解呢？因為我們的一階條件一般不都是函式的一階導數等於0（或者某個常數）麼？由於直線上的倒數處處相等，就會出現一旦有最優解（也就是滿足一階條件的點）在這段直線上，那麼其它直線上的點也是最優解，因為它們導數相同。
首先需要回顧一下定義， 無差異曲線：使消費者處於同一個效用下的所有消費組合的集合。換句話說，對於一條無差異曲線而言，上面的每一個點對於消費者來說帶來的效用都是一樣的，是“沒有差異的”。如果給出了消費者效用函式，給定一個效用水平，形象地來看，我們可以透過描點的方式把這些點在座標圖中一個一個找出來，它們共同構成了一條無差異曲線。 透過上面的定義我們可以知道，效用函式決定了無差異曲線的形狀。無差異曲線其實類似於等高線，等高線是在二維平面上描繪具有相同高度的空間中的點對應到地表上的情況，無差異曲線則是在二維平面上描繪具有相同效用值的消費組合。（當然這裡我們把問題簡化為只有兩種消費品的情況，也就是書上常見的例子。） 那麼為什麼凹的效用函式會導致凸的無差異曲線呢，我用低維空間的例子來說明。 簡單地講什麼叫凹函式和凸函式：想象一個函式曲線，如果在函式上任意兩點之間連線一條直線，倘若這條直線完全處於兩個端點之間的函式曲線的下方，那麼這樣的函式就叫做凹函式。反過來看，如果這條直線完全處於函式曲線的上方，那麼這樣的函式就叫做凸函式。（注意這是國際標準定義，和國內的高數教材上的定義不一樣。） 凹函式的具體例子：比如一個倒扣的碗，假如函式形狀和碗壁一樣，任意連線碗壁上的兩點，所得的直線一定在碗的內部，也就是在兩點之間的函式曲面下方，那麼這是一個凹函式。 凸函式的具體例子：一個正常擺放的碗，任意連線碗壁上的兩點，所得的直線一定在兩點間函式曲線的上方，那麼這是一個凸函式。或者教科書上常見的無差異曲線，顯然也是凸函式。 為什麼凹的效用函式決定了凸的無差異曲線呢？ 回憶無差異曲線和效用函式之間的關係，大致可以想象出來。如果效用函式像倒扣的碗一樣，是一個凹函式，當然不能是整個碗，只能是豎著劈開一刀剩餘一半的碗的形狀（因為效用函式是非遞減的）。那麼上面所有高度相等的點的連線所對應的桌面上的位置，是不是就像地圖上的等高線一樣？如果給出了（0,0）原點，它們一定是凸向原點的。這種凸向原點的形狀不正就是二維平面的凸函式的形狀麼。所以，透過這個簡陋的對比，應該會發現凹的效用函式決定凸的無差異曲線的原因了。 這個結論在數學上有非常嚴格的證明，而且也並不侷限於三維空間，也就是說在有多種消費品的效用函式情況下，結論也是成立的。 至於另外一個問題，不是嚴格的凹或者不是嚴格的凸，形象地想象，就是函式曲線上出現了一段直線，連線這段直線上的兩點得到的直線就在函式曲線上，既不在函式的上方也不在函式的下方，所以這時候函式就不是嚴格的凹或者嚴格的凸了。那為什麼一階條件有多個解呢？因為我們的一階條件一般不都是函式的一階導數等於0（或者某個常數）麼？由於直線上的倒數處處相等，就會出現一旦有最優解（也就是滿足一階條件的點）在這段直線上，那麼其它直線上的點也是最優解，因為它們導數相同。