我們從整體上理解了機率分佈，知道了機率分佈模型是對現實規律的抽象總結。
機率分佈模型有幾十種，從哪一個講起呢？
你去問任何一個機率老師，得到的答案肯定只有一個——正態分佈。原因很簡單，正態分佈是機率分佈中最重要的分佈。在數學家眼裡，它是遠遠高於其他分佈的。
這一講，我們就先了解一下正態分佈的數學性質和應用；下一講，再看看正態分佈到底有多重要。
要講正態分佈，我們得從天文學史上的一樁公案說起。
1801年初，一個神秘的天體出現在天文學家的視野中，幾周之後又神秘消失。它是什麼？又去了哪兒？沒人知道。正在所有人都束手無策之時，“數學王子”高斯站了出來，他用一支筆計算出了這個天體的執行軌道。果然，在高斯指定的位置，人們重新發現了它。這就是人類發現的第一顆矮行星——穀神星。
你可能好奇，高斯是怎麼計算出這顆天體的執行軌道的呢？很簡單，他在計算的過程中使用了正態分佈。
沒有正態分佈，人類束手無策；有了正態分佈，竟然能精準計算一顆遙遠的天體的位置。你說正態分佈厲害不厲害？
而且從此以後，正態分佈就席捲一切，不僅推動了數學、統計學、物理學、工程學等眾多領域的發展，而且還有很多其他的分佈，比如說對數正態分佈、T分佈、F分佈都是直接由正態分佈推匯出來的。
“正態分佈”這個詞，聽上去挺複雜的，但它的英文表達就簡單多了，叫normal distribution，直接翻譯過來就是“正常的分佈”“一般的分佈”。咱們國家臺灣的教科書通常叫它“常態分佈”。其它分佈都是特殊的，只有正態分佈是一般的、正常的。從名字上，我們也能感受到它的重要性。
作為數學史上數一數二的人物，高斯的偉大發現不勝列舉。甚至有人說，在高斯所在的那個時代，幾乎所有偉大的數學成就都是高斯最先發現的。所以，高斯並不覺得自己發現正態分佈是多了不起的事情，他的墓誌銘上，刻的也是他的正十七邊形，而沒有提正態分佈的事。
但後人不這麼認為，德國為了紀念高斯，就在10馬克的鈔票上印上了高斯的頭像，而在頭像旁邊的，就是正態分佈的鐘形曲線。
有趣的是，正態分佈不僅非常重要，而且還特別簡單。
說起正態分佈曲線，你肯定見到過——一條對稱的倒鐘形曲線，中間很高，兩邊下降，像個鼓起的小山包。
這條曲線究竟是什麼意思呢？下面我帶著你簡單瞭解一下，以後你就能看懂它了。
在正態分佈的曲線圖裡，橫座標代表隨機變數的取值範圍，越往右，隨機變數的值就越大；縱座標，則代表機率的大小，最底下的機率是0，越往上機率越大。這樣，從曲線上隨便找一點，確定它的橫座標、縱座標，我們就知道了這個值出現的機率是多少。
因為這條曲線是左右對稱的，所以中間的最高點，就代表平均值出現的機率最大，資料最多；而兩邊陡峭下降，就意味著越靠近平均值，資料越多；越遠離平均值，資料就越少。
當然，我們不能停留在這種粗糙的描述上，要理解正態分佈，必須瞭解它的三個數學性質。
性質一：均值就是期望。
也就是說，正態分佈曲線中間最高點的橫座標，不僅代表隨機變數的平均值，而且還等於它的數學期望。這是經過數學證明的，你不用太糾結。在機率論中，正態分佈的均值和期望就是一個意思，是一件事兒的兩種表達。
這就很有意思了。我們前面講過，數學期望代表長期價值，而現在平均值又是數學期望。也就是說，在正態分佈中，平均值就代表隨機事件的價值。
為什麼我們會用高考的平均成績，衡量一所高中的教學質量？為什麼我們會用平均收益率，衡量一家基金公司的好壞？原因很簡單，高考成績和基金公司的收益，是服從正態分佈的。而在正態分佈中，平均值就代表這個隨機事件的價值。
但提醒你一下，在正態分佈裡，平均值才具有這樣的意義。如果不是正態分佈，均值可能就沒啥意義了。比如說地震，誰也沒聽說過平均強度和平均損失這樣的說法吧？
性質二：極端值很少。
還記得正態分佈的圖嗎？越靠近平均值，這條曲線越高，出現的機率越大；越遠離平均值，這條曲線就越低，出現的機率就越小。這就說明，正態分佈的大多數資料都集中在平均值附近，極端值很少。
“極端值很少”這句話，有兩層含義：一是極端值出現的機率很低，二是極端值對均值的影響很小。也因此，正態分佈是非常穩定的。拿人的身高來說吧，它大體服從正態分佈，所以即使姚明加入我們課程，我們的平均身高也不會有太大變化。
當然，如果不服從正態分佈，均值往往就很不穩定。
性質三：標準差決定胖瘦。
如果留心你會發現，同樣是正態分佈圖，有的曲線要矮胖一些，有的要高瘦一點，這是為什麼呢？
其實就是因為標準差不同。前面講過，標準差就是方差的平方根，也能用來描述隨機變數的波動情況。在正態分佈中，標準差越大，資料的波動越劇烈，鐘形曲線就越矮胖；標準差越小，資料越集中，鐘形曲線就越高瘦。
為什麼剛才說正態分佈簡單？就是因為在正態分佈中，平均值等於期望，決定這條曲線的最高點；方差決定胖瘦，決定曲線的彎曲度。簡單兩個資料，就確定了這條曲線的形狀。你說簡單不簡單？
日常生活中，正態分佈的應用隨處可見。
當你開啟電腦時，某產品會告訴你，“你的開機時間23秒，打敗了全國97%的使用者”。“23秒”你可能沒概念，但“打敗了全國97%的使用者”一下子就讓會你明白快還是慢。不過你有沒有想過，這個97%是怎麼來的？是要把全國每臺電腦的開機時間都收集起來，做個排序嗎？這太複雜了吧？
其實不是這樣的。他們只是構建了一個正態分佈的模型而已。
我們知道，大部分電腦的開機速度都差不多，只有小部分快一點或慢一點，可以認為它服從正態分佈。而剛才說了，正態分佈很簡單，只要均值和標準差兩個資料就能完全確定。所以，只要隨機抽取一部分使用者的開機資料，算出均值和標準差，就可以確定一條正態分佈曲線。
而在正態分佈中，一個標準差覆蓋68.26%的資料，兩個標準差覆蓋95.44%的資料……都是一一對應、完全確定的。
有了這層關係，當你的電腦開機的時候，它只需要比較你的開機時間和均值的差距，就能知道你距離均值多少個標準差，也就知道你的排名了。
正態分佈，為我們提供了一個估算個體在整體中位置的便捷方法。像智商、身高、考試成績，只要服從正態分佈，我們就都能這樣快速得到答案。
一個正態分佈可以分析，不同的正態分佈曲線能比較嗎？
也能的。
第一，只有均值不同，能比較好壞。
比如兩條生產線製造的產品，標準差一致，怎麼比較呢？當然是平均合格率越高，品控做得越好。前面說了，正態分佈裡均值等於期望，就代表長期價值。
第二，只有標準差不同，能比較波動。
最典型的就是男女智商了。兩條曲線在均值上相似，但是男性的智商曲線要矮胖一些，女性的高瘦一點。換句話說，均值相同，標準差不同。這說明什麼呢？
前面說過，標準差代表波動程度，代表極端資料出現的機率。所以這就是說，從整體上看，男女智商沒有高低之分，男性並不比女性更聰明；但男性的智商波動更大——在智商超群的人中間，男性的數量要多於女性；當然，智商堪憂的人中間，男性也同樣更多。
第三，標準差和均值都不同，能比較專業和業餘。
比如個人的射擊成績，都是在平均成績上下波動，基本服從正態分佈。
如果我和射擊冠軍許海峰比賽，結果你能想象——我的成績肯定變化極大，有時候蒙中10環，有時候脫靶，大多數可能都是3、4環；而許海峰肯定特別穩定，基本都是10環。均值上，他更高，成績更好；標準差上，他更小，成績更穩定。這就說明，許海峰比我專業得多。
其他人總是用“刻意練習”“精準”等來評價專業和業餘，但在數學家看來，這些詞都太模糊。真正精確的標準只有兩個——均值和標準差。專業就是均值更高，標準差更小，業餘恰恰相反。
我們從整體上理解了機率分佈，知道了機率分佈模型是對現實規律的抽象總結。
機率分佈模型有幾十種，從哪一個講起呢？
你去問任何一個機率老師，得到的答案肯定只有一個——正態分佈。原因很簡單，正態分佈是機率分佈中最重要的分佈。在數學家眼裡，它是遠遠高於其他分佈的。
這一講，我們就先了解一下正態分佈的數學性質和應用；下一講，再看看正態分佈到底有多重要。
正態分佈的發現要講正態分佈，我們得從天文學史上的一樁公案說起。
1801年初，一個神秘的天體出現在天文學家的視野中，幾周之後又神秘消失。它是什麼？又去了哪兒？沒人知道。正在所有人都束手無策之時，“數學王子”高斯站了出來，他用一支筆計算出了這個天體的執行軌道。果然，在高斯指定的位置，人們重新發現了它。這就是人類發現的第一顆矮行星——穀神星。
你可能好奇，高斯是怎麼計算出這顆天體的執行軌道的呢？很簡單，他在計算的過程中使用了正態分佈。
沒有正態分佈，人類束手無策；有了正態分佈，竟然能精準計算一顆遙遠的天體的位置。你說正態分佈厲害不厲害？
而且從此以後，正態分佈就席捲一切，不僅推動了數學、統計學、物理學、工程學等眾多領域的發展，而且還有很多其他的分佈，比如說對數正態分佈、T分佈、F分佈都是直接由正態分佈推匯出來的。
“正態分佈”這個詞，聽上去挺複雜的，但它的英文表達就簡單多了，叫normal distribution，直接翻譯過來就是“正常的分佈”“一般的分佈”。咱們國家臺灣的教科書通常叫它“常態分佈”。其它分佈都是特殊的，只有正態分佈是一般的、正常的。從名字上，我們也能感受到它的重要性。
作為數學史上數一數二的人物，高斯的偉大發現不勝列舉。甚至有人說，在高斯所在的那個時代，幾乎所有偉大的數學成就都是高斯最先發現的。所以，高斯並不覺得自己發現正態分佈是多了不起的事情，他的墓誌銘上，刻的也是他的正十七邊形，而沒有提正態分佈的事。
但後人不這麼認為，德國為了紀念高斯，就在10馬克的鈔票上印上了高斯的頭像，而在頭像旁邊的，就是正態分佈的鐘形曲線。
正態分佈的三個數學特性有趣的是，正態分佈不僅非常重要，而且還特別簡單。
說起正態分佈曲線，你肯定見到過——一條對稱的倒鐘形曲線，中間很高，兩邊下降，像個鼓起的小山包。
這條曲線究竟是什麼意思呢？下面我帶著你簡單瞭解一下，以後你就能看懂它了。
在正態分佈的曲線圖裡，橫座標代表隨機變數的取值範圍，越往右，隨機變數的值就越大；縱座標，則代表機率的大小，最底下的機率是0，越往上機率越大。這樣，從曲線上隨便找一點，確定它的橫座標、縱座標，我們就知道了這個值出現的機率是多少。
因為這條曲線是左右對稱的，所以中間的最高點，就代表平均值出現的機率最大，資料最多；而兩邊陡峭下降，就意味著越靠近平均值，資料越多；越遠離平均值，資料就越少。
當然，我們不能停留在這種粗糙的描述上，要理解正態分佈，必須瞭解它的三個數學性質。
性質一：均值就是期望。
也就是說，正態分佈曲線中間最高點的橫座標，不僅代表隨機變數的平均值，而且還等於它的數學期望。這是經過數學證明的，你不用太糾結。在機率論中，正態分佈的均值和期望就是一個意思，是一件事兒的兩種表達。
這就很有意思了。我們前面講過，數學期望代表長期價值，而現在平均值又是數學期望。也就是說，在正態分佈中，平均值就代表隨機事件的價值。
為什麼我們會用高考的平均成績，衡量一所高中的教學質量？為什麼我們會用平均收益率，衡量一家基金公司的好壞？原因很簡單，高考成績和基金公司的收益，是服從正態分佈的。而在正態分佈中，平均值就代表這個隨機事件的價值。
但提醒你一下，在正態分佈裡，平均值才具有這樣的意義。如果不是正態分佈，均值可能就沒啥意義了。比如說地震，誰也沒聽說過平均強度和平均損失這樣的說法吧？
性質二：極端值很少。
還記得正態分佈的圖嗎？越靠近平均值，這條曲線越高，出現的機率越大；越遠離平均值，這條曲線就越低，出現的機率就越小。這就說明，正態分佈的大多數資料都集中在平均值附近，極端值很少。
“極端值很少”這句話，有兩層含義：一是極端值出現的機率很低，二是極端值對均值的影響很小。也因此，正態分佈是非常穩定的。拿人的身高來說吧，它大體服從正態分佈，所以即使姚明加入我們課程，我們的平均身高也不會有太大變化。
當然，如果不服從正態分佈，均值往往就很不穩定。
性質三：標準差決定胖瘦。
如果留心你會發現，同樣是正態分佈圖，有的曲線要矮胖一些，有的要高瘦一點，這是為什麼呢？
其實就是因為標準差不同。前面講過，標準差就是方差的平方根，也能用來描述隨機變數的波動情況。在正態分佈中，標準差越大，資料的波動越劇烈，鐘形曲線就越矮胖；標準差越小，資料越集中，鐘形曲線就越高瘦。
為什麼剛才說正態分佈簡單？就是因為在正態分佈中，平均值等於期望，決定這條曲線的最高點；方差決定胖瘦，決定曲線的彎曲度。簡單兩個資料，就確定了這條曲線的形狀。你說簡單不簡單？
正態分佈的現實應用日常生活中，正態分佈的應用隨處可見。
當你開啟電腦時，某產品會告訴你，“你的開機時間23秒，打敗了全國97%的使用者”。“23秒”你可能沒概念，但“打敗了全國97%的使用者”一下子就讓會你明白快還是慢。不過你有沒有想過，這個97%是怎麼來的？是要把全國每臺電腦的開機時間都收集起來，做個排序嗎？這太複雜了吧？
其實不是這樣的。他們只是構建了一個正態分佈的模型而已。
我們知道，大部分電腦的開機速度都差不多，只有小部分快一點或慢一點，可以認為它服從正態分佈。而剛才說了，正態分佈很簡單，只要均值和標準差兩個資料就能完全確定。所以，只要隨機抽取一部分使用者的開機資料，算出均值和標準差，就可以確定一條正態分佈曲線。
而在正態分佈中，一個標準差覆蓋68.26%的資料，兩個標準差覆蓋95.44%的資料……都是一一對應、完全確定的。
有了這層關係，當你的電腦開機的時候，它只需要比較你的開機時間和均值的差距，就能知道你距離均值多少個標準差，也就知道你的排名了。
正態分佈，為我們提供了一個估算個體在整體中位置的便捷方法。像智商、身高、考試成績，只要服從正態分佈，我們就都能這樣快速得到答案。
一個正態分佈可以分析，不同的正態分佈曲線能比較嗎？
也能的。
第一，只有均值不同，能比較好壞。
比如兩條生產線製造的產品，標準差一致，怎麼比較呢？當然是平均合格率越高，品控做得越好。前面說了，正態分佈裡均值等於期望，就代表長期價值。
第二，只有標準差不同，能比較波動。
最典型的就是男女智商了。兩條曲線在均值上相似，但是男性的智商曲線要矮胖一些，女性的高瘦一點。換句話說，均值相同，標準差不同。這說明什麼呢？
前面說過，標準差代表波動程度，代表極端資料出現的機率。所以這就是說，從整體上看，男女智商沒有高低之分，男性並不比女性更聰明；但男性的智商波動更大——在智商超群的人中間，男性的數量要多於女性；當然，智商堪憂的人中間，男性也同樣更多。
第三，標準差和均值都不同，能比較專業和業餘。
比如個人的射擊成績，都是在平均成績上下波動，基本服從正態分佈。
如果我和射擊冠軍許海峰比賽，結果你能想象——我的成績肯定變化極大，有時候蒙中10環，有時候脫靶，大多數可能都是3、4環；而許海峰肯定特別穩定，基本都是10環。均值上，他更高，成績更好；標準差上，他更小，成績更穩定。這就說明，許海峰比我專業得多。
其他人總是用“刻意練習”“精準”等來評價專業和業餘，但在數學家看來，這些詞都太模糊。真正精確的標準只有兩個——均值和標準差。專業就是均值更高，標準差更小，業餘恰恰相反。