對於給定的 n 階方陣 A，則 方陣 的 特徵值 λ 和 λ 對應的 n 維度 特徵向量 X，定義為：

AX = λX

根據這個定義，有：

(A - λE) X = 0

這其實是一個齊次線性方程組：

根據線性方程的知識：要使得 該方程組有 非零向量 的解，就要求係數矩陣 A - λE 的向量線性相關。這相當於 A - λE 的行列式值 為 0，即，

|A - λE| = 0

這樣我們又得到了一個關於 λ 的一元 n 次方程，稱為 A 的特徵方程。

根據代數基本定理：

一元 n 次方程，在 複數域 內 必然有 n 個根（可以是重根）。

於是令這些根為 λ₁, λ₂, ..., λ_n，對於每一個根 λᵢ，帶入上面的 方程組，有：

(A - λᵢE) X = 0

由於 係數矩陣已經確定，因此 可以得到基礎解：Xᵢ。

注意：當 λᵢ = λᵢ_₁ = λᵢ_₂ = ... = λᵢ_m 是 m 個重根時，它們對應的方程組是同一個，這時會得到 m 個 基礎解。我們規定 一個 重根 對於 一個 基礎解。要做到這一點，必須滿足條件：r(A - λᵢE) = n - m。

這樣以來 λ₁, λ₂, ..., λ_n 分別對應 基礎解 X₁, X₂, ..., X_n 它們滿足：

AX₁ = λ₁X₁,

AX₂ = λ₂X₂

...

AX_n = λ_nX_n

將上面的的等式組，用矩陣的方式表示出來就是：

即，

A T = T Λ

其中，T 是 以 X₁, X₂, ..., X_n 為列向量的 矩陣，Λ 是 以 λ₁, λ₂, ..., λ_n 為對角線的矩陣。

於是有：

|A T| = |T Λ|

再根據行列式的性質：|XY| = |X| · |Y|，有：

|A| · |T| = |T| · |Λ|

透過合理選取基礎解，可以保證，X₁, X₂, ..., X_n 線性無關，於是 |T| ≠ 0 ，將 |T| 消去，得到：

|A| = |Λ|

而 顯然 |Λ| = λ₁ · λ₂ · ... · λ_n，於是最終得到：

|A| = λ₁ · λ₂ · ... · λ_n

即，題主所說的：特徵值的積是矩陣的行列式值。

以上分析是在複數域內進行的。如果要求是實數域，則 不一定可以保證 從 特徵方程中 解得 n 個 特徵值，以構成 和 A 相似 對角矩陣 Λ，當無法建構 Λ 時，題主的命題無法成立。