人類對圓周率的認識和計算經歷了一個漫長的過程。《周髀算經》中就有周三徑一的記載。祖沖之將圓周率計算到小數點後第七位數字圓周率介於3.1415926和3.1415927之間，圓周率的約率是22/7，密率是355/113。

連分數是一種繁分數，像寶塔一樣，可以是有限，也可以是無限的。舉幾個簡單的例子比如5/3化成連分數。也就是將假分數先化為帶分數，2/3等於3/2分之一，3/2又是個假分數，繼續上面的過程直到最後一個分子為1。這個過程可以用更相減損法寫出。

將根號2化為連分數。因為1的平方等於1，2的平方等於4，所以說根號2介於1和2之間，具體得多少暫時不知道 這是一個無限的連分數，它的漸進分數如下圖所示。大家可以驗證一下這些漸進分數逐漸逼近於根號2。

先把小數3.1415926寫成大數31415926與小數10000000之比，對這兩個整數做輾轉相除法，得到一系列的不足近似商3、7、15、1、243、1、1、9、1、1、4，命名為C3、C4、C5...，設定分子，序列前2項A1=0，A2=1，從第3項開始做迭代 An=Cn*An_1+An_2,既得 3、22、333、355、86598...，仿上設定分母系列前2項 ，B1=1，B2=0，從第3項開始做迭代 Bn=Cn*Bn_1+Bn_2,得1、7、106、113、27565，就得出圓周率的近似分數序列:3/1、22/7、333/106、355/113、86598/27565...

　圓周率(Pi)在數學中代表著周長與其直徑的比值，那麼在希臘語中用字母π來表示。我們一般取其近似值3.14，根據所得資料，已經算到了小數點後第60000億位，至於未來能不能算完，這還是個未知數.

大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻，《隋書·律曆志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，週二十二。”這一記錄指出，祖沖之關於圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率

　　　　3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927

　其二是，得到 π 的兩個近似分數即：約率為22／7；密率為355／113。

　他算出的 π 的8位可靠數字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致於有數學史家提議將這一結果命名為“祖率”。祖沖之對圓周率的計算，開創了一項世界紀錄，比歐洲早了一千多年。國際上為了紀念這位偉大的中國數學家，把3.1415926稱為“祖率”，並把月球上的一座環形山命名為“祖沖之山”。這是我們中華民族的驕傲。

嚮往完美，嚮往精確是人類的天性。儘量把圓周率算得準確一點，一直成為人們的不懈追求。

在古希臘，人們也是把圓周率取為3。後來也發現了疏率22/7，直到1573年，德國數學家奧托才發現了密率355/113，比祖沖之晚了1113年。

在古埃及的紙草書（以草為紙寫的書）中，有一道計算圓形土地面積的題目，所用的方法是：圓的面積等於直徑減去直徑的1/9，然後再平方。如果我們假設半徑為1，直徑就是2，圓的面積就是2÷9×8再平方，約等於3.16，也就是說圓周率約等於3.16。（因為S＝πr2，當r＝1時，S＝π。）

1573年，德華人奧托得出這一結果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結果377／120用類似於加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。

　1585年，荷蘭人安託尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用兩者作為 π 的母近似值，分子、分母各取平均，透過加成法獲得結果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。　兩個雖都得出了祖沖之密率，但使用方法都為偶合，無理由可言。　

1593年，荷蘭數學家羅梅，用割圓術把圓周率算到了小數點後15位，雖然打破了祖沖之的紀錄，但是已時隔1133年。

1610年，德國數學家盧道夫，用割圓術使π值精確到小數點後第35位，幾乎耗費了他一生的大部分心血。

　 　隨著數學的發展，人們又陸續發明了另外一些計算圓周率的方法。

1737年，經過瑞士大數學家尤拉的倡導，人們開始廣泛地使用希臘字母π表示圓周率。

1761年，德國數學家蘭伯特證明了π是一個無限不迴圈小數。

　在日本，十七世紀關孝和重要著作《括要演算法》卷四中求圓周率時創立零約術，其實質就是用加成法來求近似分數的方法。他以3、4作為母近似值，連續加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學生對這種按部就班的笨辦法作了改進，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，（實際上就是我們前面已經提到的加成法）這樣從3、4出發，六次加成到約率，第七次出現25／8，就近與其緊鄰的22／7加成，得47／15，依次類推，只要加成23次就得到密率。

最後，還有兩件與圓周率有關的趣事不能不談。

第一件：1777年，法國數學家布豐，用他設計的，看似與圓周率毫無關係的“投針試驗”，求出圓周率的近似值是3.12。1901年，義大利數學家拉茲瑞尼，用“布豐投針試驗”求出圓周率的近似值是3.1415929。至於什麼是“布豐投針試驗”，請看拙文“布豐投針試驗的故事”。

第二件：用普通的電子計算器，就能算出圓周率的高精度近似值。算式是：

　　 1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961≈3.141592573…

這幾個小數很好記，如果不看小數點的話，四個因數都是對稱的，中間是5個9，前面兩位分別是10、11、13、16，後面兩位分別是01、11、31、61。至於是什麼道理，不清楚。據我猜測，很可能是某位有心人，殫精竭慮編出的一道趣味數學題。

無獨有偶，下面這些由十個不同數字組成的算式，也可以算出圓周率的高度近似值。

76591÷24380　， 95761÷30482　 ，　39480÷12567，

97468÷31025 ， 37869÷12054 ， 95147÷30286，

49270÷15683　 ，　83159÷26470　　， 78960÷25134。

顯然，這些題目中的數字是湊出來的，滲透了創編者的良苦用心。

錢宗琮先生在《中國算學史》（1931年）中提出祖沖之採用了由何承天首創的“調日法”或稱加權加成法。他設想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，並計算加成權數x=9，於是 (157 + 22×9) / (50+7×9) = 355/113，一舉得到密率。錢先生說：“衝之在承天后，用其術以造密率，亦意中事耳。”

　　另一種推測是：使用連分數法。

　　由於求二自然數的最大公約數的更相減損術遠在《九章算術》成書時代已流行，所以藉助這一工具求近似分數應該是比較自然的。於是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數之後，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分數，得到其漸近分數：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…

　　最後，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至於上面圓周率漸近分數的具體求法，這裡略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國李約瑟博士持這一觀點。他在《中國科學技術史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說：“密率的分數是一個連分數漸近數，因此是一個非凡的成就。”

幾千年來，圓周率精確值，不斷推進的過程，反映了人類崇高的科學精神，閃爍著人類智慧的光芒，同時也讓熱愛數學、甘願為數學獻身的人們，充分感受到數學的無比美妙，享受到數學給予他們的無限幸福。

在相當長的一段歷史時期內，人們往往用圓周率的精確程度，作為衡量一個國家、一個民族數學發展水平的標誌。中國古代數學一直處於世界領先的地位，作為炎黃子孫，我們一定要繼承祖先的光榮傳統。而作為數學教師，一定要教育我們的學生，學無止境，科學的發展也沒有止境，一座座科學高峰正等待著他們去攀登。劉徽、祖沖之、盧道夫……這些光輝的名字，永遠是鼓舞全人類前進的榜樣。