R+ V- E= 2就是尤拉公式。 在任何一個規則球面地圖上，用 R記區域個 數 ，V記頂點個數 ，E記邊界個數 ，則 R+ V- E= 2，這就是尤拉定理 ，它於 1640年由 Descartes首先給出證明。 後來 Euler(尤拉 )於 1752年又獨立地給出證明 ，我們稱其為尤拉定理 ，在國外也有人稱其 為 Descartes定理。

尤拉公式具體分好多種：

（1）分式裡的尤拉公式：

　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1

　　當r=3時值為a+b+c

（2）複變函式論裡的尤拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。

　　e^ix=cosx+isinx的證明：

　　因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……

　　在e＾x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：其中＂〒＂表示＂減加＂）

　　e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……

　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

　　所以e^±ix=cosx±isinx

　　將公式裡的x換成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^iπ+1=0. 這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數學聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的尤拉公式：

　　設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr

（4）拓撲學裡的尤拉公式：

　　V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的稜的條數,X(P)是多面體P的尤拉示性數。

　　如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。

　　X(P)叫做P的尤拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。

　　在多面體中的運用:

　　簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係

　　 　V+F-E=2

　　這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。

（5）初等數論裡的尤拉公式：

　　尤拉φ函式：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。

　　尤拉證明了下面這個式子：

　　如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以證明它。

　　此外還有很多著名定理都以尤拉的名字命名。

　　(6) 立體圖形裡的尤拉公式：

　　面數+頂點數—2=稜數