八歲的高斯發現了數學定理

德國著名大科學家高斯(1777～1855)出生在一個貧窮的家庭。高斯在還不會講話就自己學計算，在三歲時有一天晚上他看著父親在算工錢時，還糾正父親計算的錯誤。

長大後他成為當代最傑出的天文學家、數學家。他在物理的電磁學方面有一些貢獻，現在電磁學的一個單位就是用他的名字命名。數學家們則稱呼他為“數學王子”。

他八歲時進入鄉村小學讀書。教數學的老師是一個從城裡來的人，覺得在一個窮鄉僻壤教幾個小猢猻讀書，真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子唸書不必認真，如果有機會還應該處罰他們，使自己在這枯燥的生活裡添一些樂趣。

這一天正是數學教師情緒低落的一天。同學們看到老師那抑鬱的臉孔，心裡畏縮起來，知道老師又會在今天捉這些學生處罰了。

“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰算不出來就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話後就一言不發的拿起一本小說坐在椅子上看去了。

教室裡的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等於3，3加3等於6，6加4等於10……”一些小朋友加到一個數後就擦掉石板上的結果，再加下去，數越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來。

還不到半個小時，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”

老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算！錯了。”他想不可能這麼快就會有答案了。

可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個答案是對的。”

數學老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇起來，因為他自己曾經算過，得到的數也是5050，這個8歲的小鬼怎麼這樣快就得到了這個數值呢？

高斯解釋他發現的一個方法，這個方法就是古時希臘人和華人用來計算級數1+2+3+…+n的方法。高斯的發現使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的。他以後也認真教起書來，並且還常從城裡買些數學書自己進修並借給高斯看。在他的鼓勵下，高斯以後便在數學上作了一些重要的研究了。

數學發展史上的三次危機

無理數的發現---第一次數學危機

大約公元前5世紀,不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究,把幾何、算術、天文、音樂稱為"四藝",在其中追求宇宙的和諧規律性。

他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比,畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理,但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形,如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條,導致了當時認識上的"危機",從而產生了第一次數學危機。

到了公元前370年,這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯透過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法,出現在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。

第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊。這表明,幾何學的某些真理與算術無關,幾何量不能完全由整數及其比來表示,反之卻可以由幾何量來表示出來,整數的權威地位開始動搖,而幾何學的身份升高了。危機也表明,直覺和經驗不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演譯推理,並由此建立了幾何公理體系,這不能不說是數學思想上的一次巨大革命!

無窮小是零嗎?---第二次數學危機

18世紀,微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用,大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年,英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》,矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題,提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求xn的導數時,採取了先給x以增量0,應用二項式（x 0）n,從中減去xn以求得增量,併除以0以求出xn的增量與x的增量之比,然後又讓0消逝,這樣得出增量的最終比。

這裡牛頓做了違反矛盾律的手續---先設x有增量,又令增量為零,也即假設x沒有增量。"他認為無窮小dx既等於零又不等於零,召之即來,揮之即去,這是荒謬,"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。

導致了數學史上的第二次數學危機。

18世紀的數學思想的確是不嚴密的,直觀的強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念,從而導數、微分、積分等概念也不清楚,無窮大概念不清楚,以及發散級數求和的任意性,符號的不嚴格使用,不考慮連續就進行微分,不考慮導數及積分的存在性以及函式可否展成冪級數等等。

直到19世紀20年代,一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡赫利等人的工作開始,到威爾斯特拉斯、戴德金和康託的工作結束,中間經歷了半個多世紀,基本上解決了矛盾,為數學分析奠定了嚴格的基礎。

悖論的產生---第三次數學危機

數學史上的第三次危機,是由1897年的突然衝擊而出現的,到現在,從整體來看,還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康託的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支,並且實際上集合論成了數學的基礎,因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

1897年,福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後,康託發現了很相似的悖論。1902年,羅素又發現了一個悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的,它涉及到某村理髮師的困境。

理髮師宣佈了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉,並且,只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時,就認識到了這種情況的悖論性質："理髮師是否自己給自己刮臉?"如果他不給自己刮臉,那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉,那麼他就不符合他的原則。

羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後,在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了,即在工作完成之時,它的基礎垮掉了,當本書等待印出的時候,羅素先生的一封信把我置於這種境地"。

於是終結了近12年的刻苦鑽研。

承認無窮集合,承認無窮基數,就好像一切災難都出來了,這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理,簡直難說孰真孰假,可是又不能把它們都消除掉,它們跟整個數學是血肉相連的。

所以,第三次危機表面上解決了,實質上更深刻地以其它形式延續著。

八歲的高斯發現了數學定理德國著名大科學家高斯(1777～1855)出生在一個貧窮的家庭。高斯在還不會講話就自己學計算，在三歲時有一天晚上他看著父親在算工錢時，還糾正父親計算的錯誤。長大後他成為當代最傑出的天文學家、數學家。他在物理的電磁學方面有一些貢獻，現在電磁學的一個單位就是用他的名字命名。數學家們則稱呼他為“數學王子”。他八歲時進入鄉村小學讀書。教數學的老師是一個從城裡來的人，覺得在一個窮鄉僻壤教幾個小猢猻讀書，真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子唸書不必認真，如果有機會還應該處罰他們，使自己在這枯燥的生活裡添一些樂趣。這一天正是數學教師情緒低落的一天。同學們看到老師那抑鬱的臉孔，心裡畏縮起來，知道老師又會在今天捉這些學生處罰了。“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰算不出來就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話後就一言不發的拿起一本小說坐在椅子上看去了。教室裡的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等於3，3加3等於6，6加4等於10……”一些小朋友加到一個數後就擦掉石板上的結果，再加下去，數越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來。還不到半個小時，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算！錯了。”他想不可能這麼快就會有答案了。可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個答案是對的。”數學老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇起來，因為他自己曾經算過，得到的數也是5050，這個8歲的小鬼怎麼這樣快就得到了這個數值呢？高斯解釋他發現的一個方法，這個方法就是古時希臘人和華人用來計算級數1+2+3+…+n的方法。高斯的發現使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的。他以後也認真教起書來，並且還常從城裡買些數學書自己進修並借給高斯看。在他的鼓勵下，高斯以後便在數學上作了一些重要的研究了。

生平尼耳期．亨利克．阿貝爾（N.H.Abel，1802－1829）1802年8月出生於挪威西南城市斯塔萬格附近的芬島的一個農村。他很早便顯示了數學方面的才華。16歲那年，他遇到了一個能賞識其才能的老師霍姆伯（Holmboe）介紹他閱讀牛頓、尤拉、拉格朗日、高斯的著作。大師們不同凡響的創造性方法和成果，一下子開闊了阿貝爾的視野，把他的精神提升到一個嶄新的境界，他很快被推進到當時數學研究的前沿陣地。後來他感慨地在筆記中寫下這樣的話：“要想在數學上取得進展，就應該閱讀大師的而不是他們的門徒的著作”。