積分電路和微分電路在波形產生及變換電路中用的很廣，簡單的積分電路和微分電路只有一個電阻和電容即可構成。下面我們來介紹一下積分電路和微分電路的基本工作原理及用途。

上圖是一個採用電阻和電容構成的簡單的積分電路，其在各種波形變換電路中用的很廣，該電路可以將輸入端的方波訊號（可由方波發生器產生）轉為三角波或斜波並從電容C1兩端輸出。積分電路的積分時間常數τ=R1C1，R1和C1的取值很重要，一般只有在積分時間常數τ≥10倍輸入脈衝寬度時上述的阻容電路才是積分電路，才可以實現積分功能。

上圖中，假設輸入訊號為方波，並且積分時間常數大於輸入脈衝寬度，在方波訊號的正半周時，透過R1對C1充電，C1兩端的電壓逐漸增大；輸入方波的負半周時，C1透過R1放電，C1兩端電壓又開始下降，波形如上圖所示。上述這種簡單的積分電路只在充電曲線的初始部分，輸出電壓與輸入波形的時間間隔成線性關係，隨著時間的增加，積分誤差將逐漸增大，故一些要求較高的積分電路常採用運算放大器來設計。▲ 運算放大器構成的積分電路。

上圖所示的積分電路採用運算放大器設計，其積分運算精度及帶負載能力皆顯著優於阻容分立元件構成的積分電路。

微分是積分的逆運算，故將積分電路中的電阻和電容位置調換一下即可構成微分電路。阻容微分電路看起來與阻容耦合電路差不多，它們的區別就是電阻和電容的取值不同。只有微分時間常數τ≤10倍輸入脈衝寬度時，這種阻容電路才是微分電路。若電路的時間常數遠大於輸入脈衝寬度，電路將成為阻容耦合電路。

微分電路可以將方波訊號轉為尖脈衝（微分電路的輸出波形如上圖所示），這在各種脈衝觸發及控制電路中很常用。譬如數位電路中各種觸發器的觸發與復位，就經常採用這種簡單的阻容微分電路來產生正負觸發脈衝。

所謂積分電路和微分電路，是利用電抗元件微分形式的安-伏、伏-安特性來實現積分或微分運算的電路。

對於電容和電感，他們各自的遵循的歐姆定律表示式如下

由RC構成的低通濾波器就近似於一個積分器。為何說近似？在於隨著電容的充電，Vout會上升，流過電阻的電流不再與Vin成正比，因此Vout就不是簡單地對Vin關於時間積分

在上圖中把電阻R和電容C對調一下，就成了高通濾波器，其特性就近似於一個微分器。

為了使得輸出電壓Vout是輸入電壓Vin的關於時間積分，就要讓流過電阻的電流僅與輸入電壓有關，與輸出電壓無關。對此，可以用運放來實現

根據運放虛短虛斷的特性，可以得

可見，此時輸出電壓是對輸入電壓關於時間求積分。相差的只是一個常數。同樣，對於圖中R、C對調後，就可以構成微分電路。

對於上圖需要注意的是，通常，運放是不能開環工作的，但當上述積分器只是一個大負反饋環路中的一部分的時候，運放是可以不加負反饋的。

那麼積分電路和微分電路有什麼用呢？早期積體電路技術不發達的時候，有用類比電路來實現計算的模擬計算機。比如飛機、火箭上常用慣性導航儀，慣導的兩個核心感測器就是加速度計和陀螺儀，加速度計測量飛行器各個自由度上的加速度，陀螺儀測量飛行器各個自由度上的角速度。那麼，對加速度關於時間求一次積分就得到速度，再求一次積分就得到路程。對角速度關於時間求一次積分，得到角度增量；關於角速度求一次微分，則得到角加速度。當然實際情況是飛行器在一個三維空間中運動，演算法是非常複雜的。

在其他應用中還有比如在開關電源中實現三角波或鋸齒波，以與反饋回來的訊號進行比較，調節輸出PWM波形的佔空比。

在下面再舉一個電感作為積分器的例子。

在下圖所示的bulk式開關電源中，為了計算方便，設輸入為10V，輸出為5V/12.5W，開關頻率為100kHz，工作在電感電流連續的模式下。我們要計算此電路中電感上的電流紋波和輸出電壓的紋波電壓。

計算：

第一步，認為紋波電壓遠小於輸出電壓，例如紋波電壓只有50mV；

第二步，忽略MOS管和肖特基二極體的導通電壓，並在第一步的假設下，可知當MOS管導通時，加在電感兩端的電壓是一個定值，則此時有

Vin-Vout為5V，佔空比為50%，所以△t=5us，電感L為20uH，由此可計算得紋波電流為1.25A;

模擬圖如下

可以看到電感上紋波電流是三角波，與計算是比較符合的。

第三步，計算輸出紋波電壓。因為負載2歐電阻上有電流約2.5A，因此在三角波形的電感紋波電流中，只有超過2.5A部分電流是會往電容中充電，往電容充電的電流峰值只有電感紋波電流峰峰值的一半，也就是0.625A，平均電流又要對0.625A取一半，只有0.3125A。而對電容充電的時間又是開關週期的一半，因此輸出電容上的紋波電壓計算如下

最後算得紋波電壓15.6mV，而模擬曲線去下圖

模擬得到的紋波電壓是16mV基本上是準的。但實際從圖中可以看出，輸出電壓並不是5V，而是5.6V。這是因為一方面，這裡的MOS開關和肖特基二極體都是實際器件的模型，而不是我們理論設想中理想無缺的開關和二極體，第二個方面，此電路沒有負反饋，它不會自動調節輸出電壓，但不影響我們對電路的定性分析與定量估算

積分電路和微分電路其實都是由簡單的電阻與電容組成的，它也是構成脈衝電路的一部分。積分電路可以說已經廣泛應用在電子技術、家用電器電路、自動控制以及計算機技術等領域。

積分電路

實際上積分電路就是由電阻和電容構成的，但是這個電阻與電容的位置排放是有講究的，不但如此其電阻和電容的大小都有一定範圍的要求，否則就構不成積分電路的環節。從積分電路與微分電路比較來看積分電路是電阻在前電容在後且電容的一端接地，輸出端是從電阻與電容的連線處引出，這是最簡單的積分電路的構成。

積分電路的工作過程：當在積分電路輸入端加一個矩形波脈衝時就會透過電阻R1給電容C1進行充電，由於電容兩端的電壓是不能夠突變的，所以電容上的電壓是緩慢的上升；當矩形波脈衝消失時充滿電的電容兩端的電壓就會透過電阻R1進行放電，由於電容或電阻比較大其放電也是緩慢下降，當下降到很低的電壓時第二個脈衝出現了又對電容從新充電然後放電。就這樣週而復始的在電容兩端會出現一系列的三角波形。

微分電路

微分電路構成：微分電路從形式上看好似“孿生兄弟”長的極為相似，兩者只是在位置上互換了一下。我們仔細一看它的輸出電壓是取自電阻的，根據電阻的性質我們可以推斷其輸出端的波形肯定是與積分電路的輸出波形是不一樣的。

微分電路的工作過程：為了能給朋友們說明問題，我們取一個脈衝週期來說明問題。當矩形脈衝加到微分電路輸入端的瞬間的時候，還是由於電容兩端的電壓不能突變（這個特點很重要）這時給電容C充電的電流就會透過電阻R形成一個正向的尖脈衝；當脈衝跳變到低電平為零時，這是電容上充滿了左正右負的電壓開始對電容進行放電，放電的路徑是從電阻的下端流向上端，從而在電阻上出現一個負的尖脈衝波形。

運放實現的積分或者微分電路

對要求波形要求嚴格的電路中有時也會用到運算放大器來實現微分或者積分電路。運用運放來實現微分電路和積分電路同樣也需要電阻和電容的配合，只不過利用了運算放大器的“虛地”特性來實現的，其形式與電阻與電容組成簡單“經典”的微、積分電路是類似的。

把微分電路中的電阻和電容位置對換一下就構成了積分電路。積分電路也非常廣泛可作為顯示器的掃描電路、模數轉換電路等都可以見到。

微分電路和積分電路的總結

第一點：我們透過分析可以知道微分電路常用來把矩形波變成尖脈衝訊號而積分電路常用來把矩形波訊號變成三角波訊號或者鋸齒波訊號。

第二點：在微分電路中電路的時間常數RC要小於輸入矩形波的寬度，一般要求RC常數小於五分之一的矩形波的寬度就可以構成微分電路；在積分電路中電路的時間常數RC要遠大於輸入矩形波的寬度，一般要求RC常數大於三倍的矩形波的寬度就可以構成積分電路；

我清楚的記得在以前在學習具有RCT射線管的黑白電視機或彩色電視機中關於場掃描電路中就用到了積分電路，透過積分電路來產生鋸齒波透過攝像管對螢幕進行隔行掃描。在一些簡單的訊號發生器也會用到積分電路，如下圖所示的那樣。

什麼是積分電路和微分電路?

●微分電路和積分電路是電子電路中PID應用非常廣泛的一種電路。按照輸出電壓與輸入電壓成微分關係的電路為微分電路，通常由電容和電阻組成；輸出電壓與輸入電壓成積分關係的電路為積分電路，通常由電阻和電容組成。廣泛用於計算機、自動控制和電子儀器中。

●PID自動控制電子電路是透過(RC或者CR)內部透過訊號及運放電路進行自動調節。某種程度上微積分電路既有分開，也有合二為一的。

①P→在PID中的單一P稱為比例帶→在PlD調節中，自動輸出控制量的大小與測量值和設定值之間的偏差成比例關係。

②I→積分時間→積分運算的目的是為了消除“靜態誤差”，只要偏差存在，積分作用就是將控制量向使偏差消除的方向移動，積分時間是表示積分的強度的單位，溫控器設定的積分時間越短，它的積分作用越強。

③D→微分時間→積分的作用是對控制的結果的修正，動作響應速度較慢，微分的作用恰恰是為了消除積分的缺點而補充，微分作用是根據偏差產生的速度對輸出量進行修正，使控制過程中儘快回到原來的控制狀態，微分時間表示微分的強度單位，溫控儀表設定的微分時間越長，表示儀表的微分作用對控制量的修正越強。

●上圖為比例積分微分調節器電路。其中，比例微分調節器可提高控制系統的穩定裕度,並獲得足夠的快速性,但穩態精度可能受到影響。比例積分調節器可以保證控制系統的穩態精度,卻是以對快速性的限制來換取系統穩定的。上圖所示為比例積分微分調節器,又稱PID調節器,則兼有兩者的優點,可以全面提高系統的控制性能,但線路及其除錯要複雜一些。比例積分微分調節器的傳遞函式為:

uo=-(Rf/R1×ui+C1/Cf×ui+RfC1*dui/dt+1/R1Cf∫uidt)

式中第一、二項表示比例運算,第三項表示微分運算,第四項表示積分運算。PID調節器的輸出特性如上圖b所示。在常規調節中比例、積分通常用來提高調節精度, 而微分則用來加速過渡過程。