一、學生的已有經驗
學生獲得概念的能力隨年齡的增長、智力的發展、經驗的增加而發展。研究表明，就智力與經驗對概念學習的影響程度來看，經驗的作用更大，豐富的經驗背景是理解概念本質的前提，否則將容易導致死記硬背概念的字面定義而不能領會概念的內涵。這裡的“經驗”除了從學校學習中獲得以外，學生從日常生活中獲得的經驗也起到非常重要的作用。事實上，學生掌握的許多科學概念都是從日常概念中形成並發展而來的。因此，教師應注意指導學生從自己的日常生活中積累有利於概念學習的經驗，同時又要注意利用學生的日常經驗，為概念教學服務。
就數學概念學習而言，“經驗”對新概念學習的影響更多地表現在概念系統的擴張上，有的學生能夠從過去的經驗中找出與新概念相關的概念，在比較它們異同的基礎上建立起新概念，而有的學生則會受這種經驗的干擾，產生錯誤的概念理解。例如，學生從小學就開始接觸平方運算，在他們的經驗中，平方運算只與“正”聯絡在一起；另外，關於方程，他們所熟悉的也是一次的，即一個方程對應一個解。在學習“平方根”與“算術平方根”這兩個概念時，由於一個正數的平方根涉及到正負兩個數，而事實上這兩個數就是方程x2=a的兩個根，這與他們的經驗是非常不同的，於是就出現了“平方根”概念學習的極大困難；與此同時，又要學習“算術平方根”概念，這樣就出現了有時要取正負兩個值，有時又只能取一個正數的情況，從而引起理解上的混亂。
二、感性材料或感性經驗
概念形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經驗的抽象概括。因此，感性材料或感性經驗是影響概念學習的重要因素。具體地，可以從數量、變式、典型性、反例四個方面來闡述。
1．數量。感性材料和感性經驗的數量太少，學生對概念的感知不充分，對掌握概念所必須的經驗不能建立起來，就難以對概念物件的各種要素進行全面鑑別，這樣就會由於對概念的本質屬性和無關屬性的比較不充分而無法建立理解概念所需要的堅實基礎。當然，這種數量也不能太多，否則，無關屬性將有可能得到不恰當的強化而掩蓋了本質屬性。
2．變式。變式是變更物件的非本質屬性的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出物件的本質屬性，突出那些隱蔽的本質要素，一句話，變式是指事物的肯定例證在無關特徵方面的變化，讓學生在變式中思維，可以使學生更好地掌握事物的本質和規律。
變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些由具體物件本身的非本質屬性帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體物件，那麼與具體物件緊密相聯的那些非本質屬性就消失了，而本質屬性就顯露出來。數學概念就是透過對變式進行比較，捨棄非本質屬性並抽象出本質屬性而建立起來的。例如，在學習三角形的高這一概念時，可以為學生提供不同圖形的變式，即向學生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學生透過對這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出“三角形的高”的定義。
值得注意的是，變式不僅可以在概念形成過程中使用，也可以在概念的應用中使用。因此，我們既可以變更概念的非本質屬性，也可以變換問題的條件和結論；既可以轉換問題的形式或內容，也可以配置實際應用的各種環境。總之，就是要在變化中求不變，萬變不離其宗。這裡，變的是事物的物理性質、空間表現形式，不變的是事物在數或形方面的本質屬性。變化的目的是為了使學生有機會親自經歷概念的概括過程，使學生所掌握的概念更加精確、穩定和易於遷移，避免把非本質屬性當成本質屬性。
變式的運用要注意為教學目的服務。數學知識之間的聯絡性是變式的依據，即利用知識的相互聯絡，可以有系統地獲得概念的各種變式。另外，變式的運用要掌握好時機，只有在學生對概念有了初步理解，而這種理解又需要進一步深化的時候運用變式，才能收到好的效果，否則，如果在學生沒有對概念建立初步理解時就運用變式，將會使學生不能理解變式的目的，變式的複雜性會干擾學生的概念理解思路，先入為主而導致理解上的混亂。
3．典型性。實踐表明，概念的本質屬性越明顯，學習越容易，非本質屬性越多、越突出，學習就越困難。因此，在對概念進行舉例時，為了突出概念的本質屬性，減少學習困難，教師可以採用擴大有關特徵的辦法，並且對一個概念的本質屬性可以作適當的歸類練習。例如，對“單項式”概念，主要涉及單項式的定義、係數、次數等幾個方面。對定義，應該突出“數字與字母的積”，所舉例子既有形如4x2、－ab、m的，又要讓學生分析單獨一個數是否為單項式；對“係數”，既有正係數，又要有負係數，特別應該讓學生指出x、－x以及2、－5這樣的“數字單項式”等特殊單項式的係數是多少；對單項式的“次數”，既要有x2、x3，又要有ab、－7xy3等，並要讓學生辨別“數字單項式的次數是多少”。這些具有典型性的概念例證，可以幫助學生在概念學習中抓住本質屬性，理解概念的各個方面。
4．反例。概念的反例提供了最有利於辨別的資訊，使人產生深刻印象，對概念認識的深化具有非常重要的作用。反例的適當使用不但可以使學生對概念的理解更加精確，而且還可以排除無關屬性的干擾。如學生往往把“複數的模”與“實數的絕對值”這兩個概念混淆起來，出現錯誤。透過反例立即能夠糾正這種錯誤。又如，學生在學習函式概念時，往往只注意函式的表示式而忽視函式的定義域，這表明學生在理解概念時割裂了概念本質屬性的諸方面，這時也可以透過舉出反例幫助學生理解。另外，學生在概念學習中，往往在概念定義的搭詞上發生錯誤，如“三點確定一個平面”、“兩條沒有公共點的直線叫做平行線”等，這些問題發生的原因不僅是由於學生的粗心，主要還是因為學生沒有把注意指向概念本質屬性諸方面之間的關係，沒有把這種關係當成關鍵特徵來認識，舉反例可以促使學生增強對這種關係的重要性的認識。
應該注意的是，“反例”的運用是有時機的，一般來說，我們不能在學生剛剛接觸概念時就運用反例，否則將有可能使錯誤概念先入為主，對概念的理解產生干擾。反例是在學生對概念有了一定理解的基礎上才能使用的。
從上述可知，教師為學生提供的經驗材料太少或者太多都會對概念學習產生不利影響，這是教學中舉正例時所應注意的。另一方面，僅從正面還不足以使學生真正理解概念，還必須引導學生從側面和反面來理解概念，所謂“從側面理解概念”，就是利用“變式”來理解概念，用等值語言來敘述和理解概念；而所謂“從反面理解概念”，主要則是“舉反例”，就是把概念所包含的某一個或幾個關鍵屬性抽去，看看會出現什麼情況。
三、學生的概括能力
概括是形成和掌握概念的直接前提。學生學習和應用知識的過程就是一個概括過程，遷移的實質就是概括。概括又是一切思維品質的基礎，因為如果沒有概括，學生就不可能理解並掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學生掌握；沒有概括，就無法進行邏輯推理，思維的深刻性和批評性也就無從談起；沒有概括，就不可能產生靈活的遷移，思維的靈活性與創造性也就無從談起；沒有概括，就不能實現思維的“縮減”或“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現。學生掌握概念，直接受他們的概括水平的制約。要實現概括，學生必須能對相應的一類具體事例的各種屬性進行分化，再經過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質的屬性或特徵，然後再概括起來；在此基礎上再進行類化，即把概括而得到的本質屬性推廣到同類事物中去，這既是一個概念的運用過程，又是一個在更高層次上的抽象概括過程；然後，還要把新獲得的概念納入到概念系統中去，即要建立起新概念與已掌握的相關概念之間的聯絡，這是概括的高階階段。從上述可知，對概念的具體例證進行分化是概括的前提，而把概念類化，使新概念納入到概念系統中去，又成為概念學習深化的重要步驟，因此，教師應該把教會學生對具體例證進行分化和類化當成概念教學的重要環節，使學生掌握分化和類化的技能技巧，從而逐漸學會自己分析材料、比較屬性，並概括出本質屬性，以逐步培養起概括能力。另外，數學概括能力中，很重要的是發現關係的能力，即發現概念的具體事例中各種屬性之間的關係，發現新概念與已有認知結構中相關概念之間關係的能力，如果發現不了這種關係，概括也就難以進行。例如，在學習複數的模這一概念時，獲得的是：複數z＝a＋bi的模是與複平面內的點Z(a,b)相對應的有向線段OZ的長度，即點Z(a,b)到原點O的距離，也叫複數a＋bi的絕對值。為了讓學生經歷“複數的模”的概括全過程，教師就應該引導他們將它納入到已有的數的絕對值概念系統中去。在具體做法上，可以引導學生比較複數的絕對值與以前掌握的實數的絕對值之間的異同，把後者看成是前者的發展，把前者看成是後者的特例。然後，再就幾何意義的解釋上，將實數軸看成是複平面的一部分，實數a對應於複平面內的點(a,0)，實數的絕對值解釋成複數的模。實踐表明，在概念學習中，只有按照數學概念的層次結構，透過不斷深入的抽象概括，形成結構功能良好的概念體系，才能使學生準確地掌握概念的本質，形成比較完善的數學認知結構。實際上，數學概念的抽象性具有層次性的特點，這就帶來了概念學習中概括活動的層次性，成為一個螺旋上升的過程，抽象程度低的概念成為高層次概括活動的具體素材，隨著概括活動層次的提高，學生掌握的概念的抽象程度也在提高，並逐漸形成概念的體系。因此，數學概念的學習與教學必須做到“彼此照應”，注意概念的發展。
四、數學語言表達能力
語言給事物以命名，對事物的屬性與功能進行表述。透過命名，可以使人頭腦中關於事物的表象簡約化。因為事物有了自己的“名字”，當它的表現形式發生改變而把本質特徵掩蓋起來時，人們可以利用這個“名字”以避免認知上的混亂。對事物的屬性或功能的敘述，可以幫助學習者深化概念學習，使概念各要素之間的關係更加明確，使一個概念與其它概念之間的聯絡與區別更加清晰。語言使個體在理解概念的過程中，無需從頭觀察事物或回憶有關表象就能直接形成概念。所以，語言表達是概念學習過程中非常重要的一個環節。數學中各種結論的獲得都要依靠邏輯推理，而數學語言表達能力直接影響到邏輯推理的進行，當然也影響到數學概念的形成。另外，學生能夠用自己的語言正確地敘述概念，解釋概念所揭示的本質屬性，這是學生深刻理解概念的一種標誌。
許多數學概念的語言表述都代表了概念產生的條件，是相應事物在數或量方面的發生發展過程的一種抽象，因此，概念的敘述過程實際上表明瞭概念應用時應該遵循的一種操作程式。例如，“單調函式”概念的語言表述是“設函式f(x)的定義域為E，如果對於屬於定義域E內某個區間上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是增函式；如果對於屬於定義域E內某個區間上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式”，根據這個定義的敘述，我們可以總結出判斷函式單調性的操作程式是：
（1）設x1，x2是給定區間上的任意兩個自變數值，且x1＜x2；
（2）分別計算f(x1)和f(x2)；
（3）判斷差f(x1)－f(x2)值的符號；
因此，要深刻理解和熟練應用概念，就應該對概念的語言敘述過程進行分解，以使學生掌握概念應用的操作程式。
一、學生的已有經驗
學生獲得概念的能力隨年齡的增長、智力的發展、經驗的增加而發展。研究表明，就智力與經驗對概念學習的影響程度來看，經驗的作用更大，豐富的經驗背景是理解概念本質的前提，否則將容易導致死記硬背概念的字面定義而不能領會概念的內涵。這裡的“經驗”除了從學校學習中獲得以外，學生從日常生活中獲得的經驗也起到非常重要的作用。事實上，學生掌握的許多科學概念都是從日常概念中形成並發展而來的。因此，教師應注意指導學生從自己的日常生活中積累有利於概念學習的經驗，同時又要注意利用學生的日常經驗，為概念教學服務。
就數學概念學習而言，“經驗”對新概念學習的影響更多地表現在概念系統的擴張上，有的學生能夠從過去的經驗中找出與新概念相關的概念，在比較它們異同的基礎上建立起新概念，而有的學生則會受這種經驗的干擾，產生錯誤的概念理解。例如，學生從小學就開始接觸平方運算，在他們的經驗中，平方運算只與“正”聯絡在一起；另外，關於方程，他們所熟悉的也是一次的，即一個方程對應一個解。在學習“平方根”與“算術平方根”這兩個概念時，由於一個正數的平方根涉及到正負兩個數，而事實上這兩個數就是方程x2=a的兩個根，這與他們的經驗是非常不同的，於是就出現了“平方根”概念學習的極大困難；與此同時，又要學習“算術平方根”概念，這樣就出現了有時要取正負兩個值，有時又只能取一個正數的情況，從而引起理解上的混亂。
二、感性材料或感性經驗
概念形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經驗的抽象概括。因此，感性材料或感性經驗是影響概念學習的重要因素。具體地，可以從數量、變式、典型性、反例四個方面來闡述。
1．數量。感性材料和感性經驗的數量太少，學生對概念的感知不充分，對掌握概念所必須的經驗不能建立起來，就難以對概念物件的各種要素進行全面鑑別，這樣就會由於對概念的本質屬性和無關屬性的比較不充分而無法建立理解概念所需要的堅實基礎。當然，這種數量也不能太多，否則，無關屬性將有可能得到不恰當的強化而掩蓋了本質屬性。
2．變式。變式是變更物件的非本質屬性的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出物件的本質屬性，突出那些隱蔽的本質要素，一句話，變式是指事物的肯定例證在無關特徵方面的變化，讓學生在變式中思維，可以使學生更好地掌握事物的本質和規律。
變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些由具體物件本身的非本質屬性帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體物件，那麼與具體物件緊密相聯的那些非本質屬性就消失了，而本質屬性就顯露出來。數學概念就是透過對變式進行比較，捨棄非本質屬性並抽象出本質屬性而建立起來的。例如，在學習三角形的高這一概念時，可以為學生提供不同圖形的變式，即向學生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學生透過對這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出“三角形的高”的定義。
值得注意的是，變式不僅可以在概念形成過程中使用，也可以在概念的應用中使用。因此，我們既可以變更概念的非本質屬性，也可以變換問題的條件和結論；既可以轉換問題的形式或內容，也可以配置實際應用的各種環境。總之，就是要在變化中求不變，萬變不離其宗。這裡，變的是事物的物理性質、空間表現形式，不變的是事物在數或形方面的本質屬性。變化的目的是為了使學生有機會親自經歷概念的概括過程，使學生所掌握的概念更加精確、穩定和易於遷移，避免把非本質屬性當成本質屬性。
變式的運用要注意為教學目的服務。數學知識之間的聯絡性是變式的依據，即利用知識的相互聯絡，可以有系統地獲得概念的各種變式。另外，變式的運用要掌握好時機，只有在學生對概念有了初步理解，而這種理解又需要進一步深化的時候運用變式，才能收到好的效果，否則，如果在學生沒有對概念建立初步理解時就運用變式，將會使學生不能理解變式的目的，變式的複雜性會干擾學生的概念理解思路，先入為主而導致理解上的混亂。
3．典型性。實踐表明，概念的本質屬性越明顯，學習越容易，非本質屬性越多、越突出，學習就越困難。因此，在對概念進行舉例時，為了突出概念的本質屬性，減少學習困難，教師可以採用擴大有關特徵的辦法，並且對一個概念的本質屬性可以作適當的歸類練習。例如，對“單項式”概念，主要涉及單項式的定義、係數、次數等幾個方面。對定義，應該突出“數字與字母的積”，所舉例子既有形如4x2、－ab、m的，又要讓學生分析單獨一個數是否為單項式；對“係數”，既有正係數，又要有負係數，特別應該讓學生指出x、－x以及2、－5這樣的“數字單項式”等特殊單項式的係數是多少；對單項式的“次數”，既要有x2、x3，又要有ab、－7xy3等，並要讓學生辨別“數字單項式的次數是多少”。這些具有典型性的概念例證，可以幫助學生在概念學習中抓住本質屬性，理解概念的各個方面。
4．反例。概念的反例提供了最有利於辨別的資訊，使人產生深刻印象，對概念認識的深化具有非常重要的作用。反例的適當使用不但可以使學生對概念的理解更加精確，而且還可以排除無關屬性的干擾。如學生往往把“複數的模”與“實數的絕對值”這兩個概念混淆起來，出現錯誤。透過反例立即能夠糾正這種錯誤。又如，學生在學習函式概念時，往往只注意函式的表示式而忽視函式的定義域，這表明學生在理解概念時割裂了概念本質屬性的諸方面，這時也可以透過舉出反例幫助學生理解。另外，學生在概念學習中，往往在概念定義的搭詞上發生錯誤，如“三點確定一個平面”、“兩條沒有公共點的直線叫做平行線”等，這些問題發生的原因不僅是由於學生的粗心，主要還是因為學生沒有把注意指向概念本質屬性諸方面之間的關係，沒有把這種關係當成關鍵特徵來認識，舉反例可以促使學生增強對這種關係的重要性的認識。
應該注意的是，“反例”的運用是有時機的，一般來說，我們不能在學生剛剛接觸概念時就運用反例，否則將有可能使錯誤概念先入為主，對概念的理解產生干擾。反例是在學生對概念有了一定理解的基礎上才能使用的。
從上述可知，教師為學生提供的經驗材料太少或者太多都會對概念學習產生不利影響，這是教學中舉正例時所應注意的。另一方面，僅從正面還不足以使學生真正理解概念，還必須引導學生從側面和反面來理解概念，所謂“從側面理解概念”，就是利用“變式”來理解概念，用等值語言來敘述和理解概念；而所謂“從反面理解概念”，主要則是“舉反例”，就是把概念所包含的某一個或幾個關鍵屬性抽去，看看會出現什麼情況。
三、學生的概括能力
概括是形成和掌握概念的直接前提。學生學習和應用知識的過程就是一個概括過程，遷移的實質就是概括。概括又是一切思維品質的基礎，因為如果沒有概括，學生就不可能理解並掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學生掌握；沒有概括，就無法進行邏輯推理，思維的深刻性和批評性也就無從談起；沒有概括，就不可能產生靈活的遷移，思維的靈活性與創造性也就無從談起；沒有概括，就不能實現思維的“縮減”或“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現。學生掌握概念，直接受他們的概括水平的制約。要實現概括，學生必須能對相應的一類具體事例的各種屬性進行分化，再經過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質的屬性或特徵，然後再概括起來；在此基礎上再進行類化，即把概括而得到的本質屬性推廣到同類事物中去，這既是一個概念的運用過程，又是一個在更高層次上的抽象概括過程；然後，還要把新獲得的概念納入到概念系統中去，即要建立起新概念與已掌握的相關概念之間的聯絡，這是概括的高階階段。從上述可知，對概念的具體例證進行分化是概括的前提，而把概念類化，使新概念納入到概念系統中去，又成為概念學習深化的重要步驟，因此，教師應該把教會學生對具體例證進行分化和類化當成概念教學的重要環節，使學生掌握分化和類化的技能技巧，從而逐漸學會自己分析材料、比較屬性，並概括出本質屬性，以逐步培養起概括能力。另外，數學概括能力中，很重要的是發現關係的能力，即發現概念的具體事例中各種屬性之間的關係，發現新概念與已有認知結構中相關概念之間關係的能力，如果發現不了這種關係，概括也就難以進行。例如，在學習複數的模這一概念時，獲得的是：複數z＝a＋bi的模是與複平面內的點Z(a,b)相對應的有向線段OZ的長度，即點Z(a,b)到原點O的距離，也叫複數a＋bi的絕對值。為了讓學生經歷“複數的模”的概括全過程，教師就應該引導他們將它納入到已有的數的絕對值概念系統中去。在具體做法上，可以引導學生比較複數的絕對值與以前掌握的實數的絕對值之間的異同，把後者看成是前者的發展，把前者看成是後者的特例。然後，再就幾何意義的解釋上，將實數軸看成是複平面的一部分，實數a對應於複平面內的點(a,0)，實數的絕對值解釋成複數的模。實踐表明，在概念學習中，只有按照數學概念的層次結構，透過不斷深入的抽象概括，形成結構功能良好的概念體系，才能使學生準確地掌握概念的本質，形成比較完善的數學認知結構。實際上，數學概念的抽象性具有層次性的特點，這就帶來了概念學習中概括活動的層次性，成為一個螺旋上升的過程，抽象程度低的概念成為高層次概括活動的具體素材，隨著概括活動層次的提高，學生掌握的概念的抽象程度也在提高，並逐漸形成概念的體系。因此，數學概念的學習與教學必須做到“彼此照應”，注意概念的發展。
四、數學語言表達能力
語言給事物以命名，對事物的屬性與功能進行表述。透過命名，可以使人頭腦中關於事物的表象簡約化。因為事物有了自己的“名字”，當它的表現形式發生改變而把本質特徵掩蓋起來時，人們可以利用這個“名字”以避免認知上的混亂。對事物的屬性或功能的敘述，可以幫助學習者深化概念學習，使概念各要素之間的關係更加明確，使一個概念與其它概念之間的聯絡與區別更加清晰。語言使個體在理解概念的過程中，無需從頭觀察事物或回憶有關表象就能直接形成概念。所以，語言表達是概念學習過程中非常重要的一個環節。數學中各種結論的獲得都要依靠邏輯推理，而數學語言表達能力直接影響到邏輯推理的進行，當然也影響到數學概念的形成。另外，學生能夠用自己的語言正確地敘述概念，解釋概念所揭示的本質屬性，這是學生深刻理解概念的一種標誌。
許多數學概念的語言表述都代表了概念產生的條件，是相應事物在數或量方面的發生發展過程的一種抽象，因此，概念的敘述過程實際上表明瞭概念應用時應該遵循的一種操作程式。例如，“單調函式”概念的語言表述是“設函式f(x)的定義域為E，如果對於屬於定義域E內某個區間上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是增函式；如果對於屬於定義域E內某個區間上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式”，根據這個定義的敘述，我們可以總結出判斷函式單調性的操作程式是：
（1）設x1，x2是給定區間上的任意兩個自變數值，且x1＜x2；
（2）分別計算f(x1)和f(x2)；
（3）判斷差f(x1)－f(x2)值的符號；
因此，要深刻理解和熟練應用概念，就應該對概念的語言敘述過程進行分解，以使學生掌握概念應用的操作程式。