可導與可微是兩個經常被人們混淆的概念。高中時，很多老師都說可導和可微是同一回事，但事實真的如此嗎？答案是否定的，二者是完全不同的兩個東西。其實大學在《高等數學》這門課裡邊已經非常明確地指出了可導性與可微性的定義，只是它一般不作為考試內容，也不是考研的重點。因此很多老師一帶而過，沒有去深究；學生們學起來也沒有太在意，從而忽略了二者之間的區別。我們今天就來講一下二者究竟有什麼區別與聯絡。一元函式的情形
先來看我們比較熟悉的可導性，函式在x=a處可導的意思就是在這一點的導數存在，而導數的一個幾何解釋就是曲線在該點處切線的斜率，它是利用割線的斜率取極限得到的
因此它有兩個等價的定義式：
式子右邊的這個極限如果存在，則導數存在，那麼函式在該點可導。
而可微性的定義則比上式要複雜的多，它要用得到高階無窮小的概念：
可以看出，可微性的定義與可導性是截然不同的，因此二者是完全不同的兩個概念，千萬不要把它們混在一起。
為了進一步弄清二者之間的區別，我們需要深刻地理解可微性這一概念。很多人對上面這個式子看得莫名其妙，那是因為不瞭解其背後的幾何含義，我們來詳細介紹一下。
微積分的發明最初是源於牛頓思考如何求變速運動的瞬時速度這一問題。他採用的是極限的思想，當然這種思想並非牛頓的首創，古希臘偉大的數學家、物理學家阿基米德，就採用過類似的方法。
他當時思考的是如何求一個圓形的面積，現在我們已經知道了，是利用內接正多邊形來逼近圓的方法，當邊數越多面積就越接近於圓的面積，當邊數多到無限多的時候，也就是對邊數求一個極限，那就可以得到圓的整個面積：
這是中國古代數學家祖沖之計算圓周率，用的也是類似的方法。這一類方法包含了一個深刻的思想就是，在一個很小的範圍之內，曲線就約等於一條直線：
那麼我們定義函式在一點可微用的也是這個思想，可以參見下面這個圖
我們研究函式在x=a這一點的性態。首先按照剛才的思想，我們在x=a這一點附近做一條直線，讓它儘可能地貼近這條曲線，注意！我這裡可沒有說是做一條切線，具體是做什麼樣的直線目前還不知道，於是我們就想知道，當它的斜率取為多少的時候，可以做到“儘可能地貼近”。
那我們就需要來分析一下什麼叫做“儘可能地貼近”，我們把這條直線的斜率記成A，來研究一下函式在x=a+Δx這一點，函式在這一點的取值是f(a+Δx)，那麼它與x=a這一點的函式值之差就是f(a+Δx)-f(a)，就是圖中所表示的Δy。同時直線上在這一點的取值與在x=a處的取值之間的差我們用dy來表示。
我們來計算一下dy究竟等於什麼，我們知道斜率的計算公式就是(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，按照圖中所示，其實就是dy/Δx，這裡需要注意一下，Δx就是dx，而我們已經設出直線的斜率是A，因此dy就等於AΔx。
知道了Δy與dy，那麼“儘可能地貼近”的意思就是指，Δy與dy之間的差值，即誤差Δy-dy，儘可能地小。按照我們剛才給出的式子，Δy-dy就等於f(a+Δx)-f(a)-AΔx，這就是可微式定義中的分子部分。
那麼問題又來了，什麼叫做誤差儘可能的小呢，從圖上可以看出，不管你直線的斜率取成什麼樣子，當Δx越小的時候，誤差肯定也就越小。這樣一來不同的直線之間就無法區分開，因此我們把條件再加強一點。我們不僅要求誤差越來越小，還要求它是一個關於Δx的高階無窮小。如果我們能找到適當的A，使得它滿足這一點，那麼我們就說這條直線是最“儘可能貼近”的一條直線。而高階無窮小的定義我們在高等數學中都已經學過，就是二者的比值當Δx趨近於0的時候極限也是0，於是我就寫出了剛才提到的那個可微性的定義的表示式。
我想，明白了這個原理，我們也就可以理解可微性的真正內涵，也就可以清楚的認識到，它與可導性是完全不同的兩個概念。
那麼，可微性與可導性之間又有什麼樣的聯絡呢？二者是相互等價的，即若f(x)在x=a處可導，則可以推出來它在a處是可微的；反過來，如果它在這一點可微則可以推出來它在這一點可導。我們來證明一下這兩個結論。
這就是我們可微性的定義，因此可以推出來函式在這一點是可微的。
反過來
定理2：若f(x)在x=a處可微，則它在x=a處可導。
上面的兩個定理可以看出，可導性和可微性是有密切聯絡的，二者不僅互相等價，而且可導性中的導數實際上就相當於可微性定義裡的那個A。這就是為什麼經常會有人說二者是一回事，但實際上從嚴格的數學角度來看，二者是完全不同的。
當然，上面是針對於一元函式的情形；而對於多元函式，z=f(x,y)，結論就不一樣了，可導與可微甚至都不是等價的。
對於多元函式，我們拿二元函式z=f(x,y)舉例子，研究它在(a,b)這一點的情況。因為平面上有無數多個方向，因此我們需要研究它的偏導數，對x的偏導和對y的偏導，對x的偏導定義就是將y值固定為b，對x求導數，它的嚴格數學定義式是
它的幾何解釋就是對這個曲面在y=a處做一個橫截面，截口就是一條曲線，這個曲線在x等於a處切線的斜率，如下圖所示
同樣在這一點關於y的偏導就是
它的幾何解釋就是，在x=a處做切面截出的曲線在y=b處的切線斜率，如下圖所示
同樣的，我們可以定義在(a,b)這一點處函式的可微性，我們同樣是利用“化曲為直”的思想，二元函式的影象是一個曲面，因此這裡我們是用一個平面來代替曲面，即，過f(a,b)這一點做一條儘量的貼近曲面的平面，參考一元函式的情形，我們可以畫出如下影象
我們的目標也是想讓函式值與平面上的值之間的誤差是一個關於自變數變化的無窮小量。而自變數的變化又分成兩部分，x的變化是Δx，y的變化是Δy，新舊兩點之間的距離就可以利用勾股定理，即兩條直角邊的平方和再開方而得到，遵循同樣的道理，我們可以寫出函式在一點可微的定義：
可以看出，在多元函式中，一點處可導與可微之間的差異表現的就更明顯了。
二者甚至都不是等價的，我們有如下結論。首先，如果可微的話，那麼兩個偏導數必然存在，這是一定的。
定理3：若f(x,y)在(a,b)處可微，則在該點處，關於x和y的兩個偏導數都存在
於是我們有類似的結論，可微的函式不僅兩個偏導數存在，並且關於x的偏導數就是定義裡的A，關於y的偏導數就是定義裡的B。
但是這個結論反過來就不一定成立了：即使兩個偏導數都存在，那麼在這一點也有可能不可微，以下是一個例子。
所以在多元函式中，可導與可微並不等價，這就告訴我們就更有必要將可導與可微給區分開了。但是我們有如下的定理：
定理4：函式f(x,y)的兩個偏導數在點(a,b)的某個領域記憶體在，並且兩個偏導函式在該點處連續，那麼函式在這點可微
這個條件只是函式在一點可微的充分條件，它的證明過程比較複雜，需要使用拉格朗日中值定理，如果有興趣的讀者可以參閱相關教材。
到這裡我們就基本把可導與可微的關係說清楚了，但是數學家們會研究更復雜的函式——向量函式，而它的可導性與可微性形式就更復雜了，但是思想核心還是一樣的。
所謂向量函式，通俗的講就是自變數與因變數都是向量的函式。一般的，它把一個n維向量對映到一個m維向量，通用的表達方式如下：
有時為了形式上的好看，我們把向量豎過來寫：
所以一個由n維向量對映到m維向量的向量函式，實質就是m個n元函式。當向量維數比較高的時候，我們無法畫出它的圖形，但是當向量維數為二維或者三維的時候，它是有幾何含義的。比如從二維到二維的向量函式，它的自變數x可以理解為平面上的一個位置，y表示一個向量，因此二維到二維的向量函式可以理解為給平面上每一個點賦予一個向量，比如下圖所示
上面就是三個二維到二維向量函式的例子。同樣三維到三維的向量函式相當於給空間中每一點賦予一個三維向量，比如下面幾個例子
上面兩種向量函式，我們分別稱為二維向量場與三維向量場，向量場是物理學問題中的一個重要的研究工具，力場，磁場，電場等等都是某種特殊的向量場。向量場在流體力學中有著基礎性的地位。上圖展示的是美國舊金山地區在2010年5月1日早上6點時的空氣運動
上圖是加拿大新蘇格蘭島附近某時刻的海水流動
飛機執行中的風洞測試也是三維向量場
因為向量函式涉及多個函式與多個自變數，因此它的導數就比較麻煩，我們需要研究每一個函式關於每一個自變數的偏導數，這樣一來，我們就需要用矩陣來表示
上面這個矩陣我們就稱為導數矩陣，當然有一個更專業的名字叫做雅可比矩陣(Jacobian Matrix)。卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德國數學家。
雅可比矩陣其實就是導數的多維推廣，如果一個向量函式在某一點處所有函式關於所有分量的偏導數都存在，那麼稱它的這一點是可導的，並且它的導數就是雅可比矩陣。
將一元函式導數推廣為多維就成了雅克比矩陣，同樣可微性我們也是做類似的推廣。我們也是希望因變數的誤差值是一個關於自變數變化值的高階無窮小，而這是因為自變數的變化只是一個向量，因此我們就需要有一個常數矩陣A，即有如下定義，若存在n×m的常數矩陣，使得向量函式滿足那麼我們就說該函式在a這一點是可微的。
同樣道理可導的話，我們推不出可微來，但是可微的話一定可以推出各個偏導數都存在，同時雅可比矩陣就是可微性定義裡邊的那個矩陣A。
好了，透過上面的一系列論述過程，我們可以體會到兩點。第一，可導和可微是完全不同的兩個概念，切不可混為一談。細節體現功底，對相近概念之間差別的認識，充分反映了一個人的數學知識水平。第二，推廣是數學中很重要的一個思想，我們的可微性，也是經歷了一個由一元函式向多元函式，再向向量函式推廣的過程。理解並自覺的運用推廣這種思想，對學習數學有著非常大的幫助。
參考文獻
[1] 《高等數學》，第七版，同濟大學數學系，北京，高等教育出版社
[2] 《流形和STOKES定理》，徐森林，人民教育出版社
[3] 《數學分析（下冊）》，第三版，華東師範大學數學系，北京，高等教育出版社
[4] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC
[5] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE
可導與可微是兩個經常被人們混淆的概念。高中時，很多老師都說可導和可微是同一回事，但事實真的如此嗎？答案是否定的，二者是完全不同的兩個東西。其實大學在《高等數學》這門課裡邊已經非常明確地指出了可導性與可微性的定義，只是它一般不作為考試內容，也不是考研的重點。因此很多老師一帶而過，沒有去深究；學生們學起來也沒有太在意，從而忽略了二者之間的區別。我們今天就來講一下二者究竟有什麼區別與聯絡。一元函式的情形
先來看我們比較熟悉的可導性，函式在x=a處可導的意思就是在這一點的導數存在，而導數的一個幾何解釋就是曲線在該點處切線的斜率，它是利用割線的斜率取極限得到的
因此它有兩個等價的定義式：
式子右邊的這個極限如果存在，則導數存在，那麼函式在該點可導。
而可微性的定義則比上式要複雜的多，它要用得到高階無窮小的概念：
可以看出，可微性的定義與可導性是截然不同的，因此二者是完全不同的兩個概念，千萬不要把它們混在一起。
為了進一步弄清二者之間的區別，我們需要深刻地理解可微性這一概念。很多人對上面這個式子看得莫名其妙，那是因為不瞭解其背後的幾何含義，我們來詳細介紹一下。
微積分的發明最初是源於牛頓思考如何求變速運動的瞬時速度這一問題。他採用的是極限的思想，當然這種思想並非牛頓的首創，古希臘偉大的數學家、物理學家阿基米德，就採用過類似的方法。
他當時思考的是如何求一個圓形的面積，現在我們已經知道了，是利用內接正多邊形來逼近圓的方法，當邊數越多面積就越接近於圓的面積，當邊數多到無限多的時候，也就是對邊數求一個極限，那就可以得到圓的整個面積：
這是中國古代數學家祖沖之計算圓周率，用的也是類似的方法。這一類方法包含了一個深刻的思想就是，在一個很小的範圍之內，曲線就約等於一條直線：
那麼我們定義函式在一點可微用的也是這個思想，可以參見下面這個圖
我們研究函式在x=a這一點的性態。首先按照剛才的思想，我們在x=a這一點附近做一條直線，讓它儘可能地貼近這條曲線，注意！我這裡可沒有說是做一條切線，具體是做什麼樣的直線目前還不知道，於是我們就想知道，當它的斜率取為多少的時候，可以做到“儘可能地貼近”。
那我們就需要來分析一下什麼叫做“儘可能地貼近”，我們把這條直線的斜率記成A，來研究一下函式在x=a+Δx這一點，函式在這一點的取值是f(a+Δx)，那麼它與x=a這一點的函式值之差就是f(a+Δx)-f(a)，就是圖中所表示的Δy。同時直線上在這一點的取值與在x=a處的取值之間的差我們用dy來表示。
我們來計算一下dy究竟等於什麼，我們知道斜率的計算公式就是(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，按照圖中所示，其實就是dy/Δx，這裡需要注意一下，Δx就是dx，而我們已經設出直線的斜率是A，因此dy就等於AΔx。
知道了Δy與dy，那麼“儘可能地貼近”的意思就是指，Δy與dy之間的差值，即誤差Δy-dy，儘可能地小。按照我們剛才給出的式子，Δy-dy就等於f(a+Δx)-f(a)-AΔx，這就是可微式定義中的分子部分。
那麼問題又來了，什麼叫做誤差儘可能的小呢，從圖上可以看出，不管你直線的斜率取成什麼樣子，當Δx越小的時候，誤差肯定也就越小。這樣一來不同的直線之間就無法區分開，因此我們把條件再加強一點。我們不僅要求誤差越來越小，還要求它是一個關於Δx的高階無窮小。如果我們能找到適當的A，使得它滿足這一點，那麼我們就說這條直線是最“儘可能貼近”的一條直線。而高階無窮小的定義我們在高等數學中都已經學過，就是二者的比值當Δx趨近於0的時候極限也是0，於是我就寫出了剛才提到的那個可微性的定義的表示式。
我想，明白了這個原理，我們也就可以理解可微性的真正內涵，也就可以清楚的認識到，它與可導性是完全不同的兩個概念。
那麼，可微性與可導性之間又有什麼樣的聯絡呢？二者是相互等價的，即若f(x)在x=a處可導，則可以推出來它在a處是可微的；反過來，如果它在這一點可微則可以推出來它在這一點可導。我們來證明一下這兩個結論。
定理1：若f(x)在x=a處可導，則它在x=a處可微這就是我們可微性的定義，因此可以推出來函式在這一點是可微的。
反過來
定理2：若f(x)在x=a處可微，則它在x=a處可導。
上面的兩個定理可以看出，可導性和可微性是有密切聯絡的，二者不僅互相等價，而且可導性中的導數實際上就相當於可微性定義裡的那個A。這就是為什麼經常會有人說二者是一回事，但實際上從嚴格的數學角度來看，二者是完全不同的。
當然，上面是針對於一元函式的情形；而對於多元函式，z=f(x,y)，結論就不一樣了，可導與可微甚至都不是等價的。
多元函式的情形對於多元函式，我們拿二元函式z=f(x,y)舉例子，研究它在(a,b)這一點的情況。因為平面上有無數多個方向，因此我們需要研究它的偏導數，對x的偏導和對y的偏導，對x的偏導定義就是將y值固定為b，對x求導數，它的嚴格數學定義式是
它的幾何解釋就是對這個曲面在y=a處做一個橫截面，截口就是一條曲線，這個曲線在x等於a處切線的斜率，如下圖所示
同樣在這一點關於y的偏導就是
它的幾何解釋就是，在x=a處做切面截出的曲線在y=b處的切線斜率，如下圖所示
同樣的，我們可以定義在(a,b)這一點處函式的可微性，我們同樣是利用“化曲為直”的思想，二元函式的影象是一個曲面，因此這裡我們是用一個平面來代替曲面，即，過f(a,b)這一點做一條儘量的貼近曲面的平面，參考一元函式的情形，我們可以畫出如下影象
我們的目標也是想讓函式值與平面上的值之間的誤差是一個關於自變數變化的無窮小量。而自變數的變化又分成兩部分，x的變化是Δx，y的變化是Δy，新舊兩點之間的距離就可以利用勾股定理，即兩條直角邊的平方和再開方而得到，遵循同樣的道理，我們可以寫出函式在一點可微的定義：
可以看出，在多元函式中，一點處可導與可微之間的差異表現的就更明顯了。
二者甚至都不是等價的，我們有如下結論。首先，如果可微的話，那麼兩個偏導數必然存在，這是一定的。
定理3：若f(x,y)在(a,b)處可微，則在該點處，關於x和y的兩個偏導數都存在
於是我們有類似的結論，可微的函式不僅兩個偏導數存在，並且關於x的偏導數就是定義裡的A，關於y的偏導數就是定義裡的B。
但是這個結論反過來就不一定成立了：即使兩個偏導數都存在，那麼在這一點也有可能不可微，以下是一個例子。
所以在多元函式中，可導與可微並不等價，這就告訴我們就更有必要將可導與可微給區分開了。但是我們有如下的定理：
定理4：函式f(x,y)的兩個偏導數在點(a,b)的某個領域記憶體在，並且兩個偏導函式在該點處連續，那麼函式在這點可微
這個條件只是函式在一點可微的充分條件，它的證明過程比較複雜，需要使用拉格朗日中值定理，如果有興趣的讀者可以參閱相關教材。
到這裡我們就基本把可導與可微的關係說清楚了，但是數學家們會研究更復雜的函式——向量函式，而它的可導性與可微性形式就更復雜了，但是思想核心還是一樣的。
3.向量函式的情形所謂向量函式，通俗的講就是自變數與因變數都是向量的函式。一般的，它把一個n維向量對映到一個m維向量，通用的表達方式如下：
有時為了形式上的好看，我們把向量豎過來寫：
所以一個由n維向量對映到m維向量的向量函式，實質就是m個n元函式。當向量維數比較高的時候，我們無法畫出它的圖形，但是當向量維數為二維或者三維的時候，它是有幾何含義的。比如從二維到二維的向量函式，它的自變數x可以理解為平面上的一個位置，y表示一個向量，因此二維到二維的向量函式可以理解為給平面上每一個點賦予一個向量，比如下圖所示
上面就是三個二維到二維向量函式的例子。同樣三維到三維的向量函式相當於給空間中每一點賦予一個三維向量，比如下面幾個例子
上面兩種向量函式，我們分別稱為二維向量場與三維向量場，向量場是物理學問題中的一個重要的研究工具，力場，磁場，電場等等都是某種特殊的向量場。向量場在流體力學中有著基礎性的地位。上圖展示的是美國舊金山地區在2010年5月1日早上6點時的空氣運動
上圖是加拿大新蘇格蘭島附近某時刻的海水流動
飛機執行中的風洞測試也是三維向量場
因為向量函式涉及多個函式與多個自變數，因此它的導數就比較麻煩，我們需要研究每一個函式關於每一個自變數的偏導數，這樣一來，我們就需要用矩陣來表示
上面這個矩陣我們就稱為導數矩陣，當然有一個更專業的名字叫做雅可比矩陣(Jacobian Matrix)。卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德國數學家。
雅可比矩陣其實就是導數的多維推廣，如果一個向量函式在某一點處所有函式關於所有分量的偏導數都存在，那麼稱它的這一點是可導的，並且它的導數就是雅可比矩陣。
將一元函式導數推廣為多維就成了雅克比矩陣，同樣可微性我們也是做類似的推廣。我們也是希望因變數的誤差值是一個關於自變數變化值的高階無窮小，而這是因為自變數的變化只是一個向量，因此我們就需要有一個常數矩陣A，即有如下定義，若存在n×m的常數矩陣，使得向量函式滿足那麼我們就說該函式在a這一點是可微的。
同樣道理可導的話，我們推不出可微來，但是可微的話一定可以推出各個偏導數都存在，同時雅可比矩陣就是可微性定義裡邊的那個矩陣A。
4.結論好了，透過上面的一系列論述過程，我們可以體會到兩點。第一，可導和可微是完全不同的兩個概念，切不可混為一談。細節體現功底，對相近概念之間差別的認識，充分反映了一個人的數學知識水平。第二，推廣是數學中很重要的一個思想，我們的可微性，也是經歷了一個由一元函式向多元函式，再向向量函式推廣的過程。理解並自覺的運用推廣這種思想，對學習數學有著非常大的幫助。
參考文獻
[1] 《高等數學》，第七版，同濟大學數學系，北京，高等教育出版社
[2] 《流形和STOKES定理》，徐森林，人民教育出版社
[3] 《數學分析（下冊）》，第三版，華東師範大學數學系，北京，高等教育出版社
[4] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC
[5] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE