答：注意，XY=矩陣X左乘Y，即是X對Y做行變換(對Y的行進行操作）同時，XY=矩陣Y右乘X，即是Y對X做列變換(對X的列進行操作）。行變換：本題中E12=P1=1,0,0;-2,1,0;0,0,1用它左乘B，即是將B的第一行乘-2加到第二行上。可以這樣理解： E12*單位矩陣E=E12,看看E12對單位矩陣E的行做了哪些操作之後得到E12，然後將同樣的操作應用到B上，即是E12*B。我們一起來看：E12與E相比，談它對E的行作了些什麼操作？顯然是對E的首行乘-2再加到第二行。列變換：同樣，E13=0 0 10 1 01 0 0那麼C*E13即是對C的列進行操作。進行哪樣的操作呢？我們將E13與單位矩陣E相比，顯然是對E的13兩列進行了交換。同樣對C的13兩列進行交換即可。這個例子中，交換了13兩列，行列式的值變號。這個容易理解。|C*E13|=|C|*|E13|容易看到|E13|=-1。故行列式變號。如果是交換12兩列呢？ E12=0 1 01 0 00 0 1因為|E12|=-1，故行列式變號了。記憶與解釋一：實際上，我們視123為原排列，或稱零排列，初始排列。其逆序數為0.交換13變成排列 321，這個排列的逆序數為3，是個奇排列，故變號。交換12變成排列213，這個排列逆序數為1，是個奇排列，故變號。類似的，將原來的123列按312重新排列，對應於矩陣P，會怎麼樣呢？我們看到312的逆序數為2，是偶排列，那麼行列式不變號。下面來驗證。P=0 0 11 0 00 1 0|P|=1，果然，行列式不變號。概念：逆序數——對於n個不同的元素，先規定各元素之間有一個標準次序（例如n個 不同的自然數，可規定從小到大為標準次序），於是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先後次序與標準次序不同時，就說有1個逆序。一個排列中所有逆序總數叫做這個排列的逆序數。逆序數為偶數的排列稱為偶排列；逆序數為奇數的排列稱為奇排列。如排列2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數是4，為偶排列。記憶與解釋二：如果初等變換矩陣是單位矩陣E的行的變換，寫成置換的形式，如果是奇置換(奇數次對換)，那麼行列式變號。若是偶置換，則不變號。例：我們視123為原排列，或稱零排列，初始排列。與新的排列並列在一起構成矩陣，稱為置換。如123123這樣的置換，元素不曾變動，稱為恆等置換。交換13變成排列 321，此時寫成矩陣形式是123321按輪換或對換形式寫出為(13)，一個對換就對應於一次變號，對換次數為奇數1，為奇置換。交換12變成排列213，同樣也是一次對換(12)，為奇置換。若將原來的123列按312重新排列，此時對應的矩陣形式為123312寫成輪換形式為(132)。也可以經歷一番過渡，如123321312於是(132)=(13)(12)，是兩次對換的乘積，對換次數為2，為偶置換。概念：置換——將元素的變換用矩陣的形式表示的一一對應叫做置換。如矩陣X=1 2 33 2 1Y=1 2 3 4 53 1 2 5 4分別表示一個置換。置換也可以表示為輪換。如X=(13)(22)=(13)，即13發生交換，2不變。此時省寫成(13)。此時只有兩個元素交換，稱為交換，或對換，或換位。對換是一種簡單的輪換。Y=(132)(45)，即按1>3>2>1的方式輪換，按4>5>4的方式輪換(對換).最後一題：試用左乘行的變換或右乘列的變換來分析：P=0 0 11 0 00 1 0Q=0 1 00 0 11 0 0PQ=E=1 0 00 1 00 0 1
答：注意，XY=矩陣X左乘Y，即是X對Y做行變換(對Y的行進行操作）同時，XY=矩陣Y右乘X，即是Y對X做列變換(對X的列進行操作）。行變換：本題中E12=P1=1,0,0;-2,1,0;0,0,1用它左乘B，即是將B的第一行乘-2加到第二行上。可以這樣理解： E12*單位矩陣E=E12,看看E12對單位矩陣E的行做了哪些操作之後得到E12，然後將同樣的操作應用到B上，即是E12*B。我們一起來看：E12與E相比，談它對E的行作了些什麼操作？顯然是對E的首行乘-2再加到第二行。列變換：同樣，E13=0 0 10 1 01 0 0那麼C*E13即是對C的列進行操作。進行哪樣的操作呢？我們將E13與單位矩陣E相比，顯然是對E的13兩列進行了交換。同樣對C的13兩列進行交換即可。這個例子中，交換了13兩列，行列式的值變號。這個容易理解。|C*E13|=|C|*|E13|容易看到|E13|=-1。故行列式變號。如果是交換12兩列呢？ E12=0 1 01 0 00 0 1因為|E12|=-1，故行列式變號了。記憶與解釋一：實際上，我們視123為原排列，或稱零排列，初始排列。其逆序數為0.交換13變成排列 321，這個排列的逆序數為3，是個奇排列，故變號。交換12變成排列213，這個排列逆序數為1，是個奇排列，故變號。類似的，將原來的123列按312重新排列，對應於矩陣P，會怎麼樣呢？我們看到312的逆序數為2，是偶排列，那麼行列式不變號。下面來驗證。P=0 0 11 0 00 1 0|P|=1，果然，行列式不變號。概念：逆序數——對於n個不同的元素，先規定各元素之間有一個標準次序（例如n個 不同的自然數，可規定從小到大為標準次序），於是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先後次序與標準次序不同時，就說有1個逆序。一個排列中所有逆序總數叫做這個排列的逆序數。逆序數為偶數的排列稱為偶排列；逆序數為奇數的排列稱為奇排列。如排列2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數是4，為偶排列。記憶與解釋二：如果初等變換矩陣是單位矩陣E的行的變換，寫成置換的形式，如果是奇置換(奇數次對換)，那麼行列式變號。若是偶置換，則不變號。例：我們視123為原排列，或稱零排列，初始排列。與新的排列並列在一起構成矩陣，稱為置換。如123123這樣的置換，元素不曾變動，稱為恆等置換。交換13變成排列 321，此時寫成矩陣形式是123321按輪換或對換形式寫出為(13)，一個對換就對應於一次變號，對換次數為奇數1，為奇置換。交換12變成排列213，同樣也是一次對換(12)，為奇置換。若將原來的123列按312重新排列，此時對應的矩陣形式為123312寫成輪換形式為(132)。也可以經歷一番過渡，如123321312於是(132)=(13)(12)，是兩次對換的乘積，對換次數為2，為偶置換。概念：置換——將元素的變換用矩陣的形式表示的一一對應叫做置換。如矩陣X=1 2 33 2 1Y=1 2 3 4 53 1 2 5 4分別表示一個置換。置換也可以表示為輪換。如X=(13)(22)=(13)，即13發生交換，2不變。此時省寫成(13)。此時只有兩個元素交換，稱為交換，或對換，或換位。對換是一種簡單的輪換。Y=(132)(45)，即按1>3>2>1的方式輪換，按4>5>4的方式輪換(對換).最後一題：試用左乘行的變換或右乘列的變換來分析：P=0 0 11 0 00 1 0Q=0 1 00 0 11 0 0PQ=E=1 0 00 1 00 0 1