和差積商的變化規律
一、和的變化規律
(一)如果一個加數增加一個數，另一個加數不變，那麼它們的和也增加同一個數．
例如：
3＋5=8 a＋b=c
(3＋2)＋5=8＋2 (a＋m)＋b=c＋m
a＋(b＋m)=c＋m
(二)如果一個加數減少一個數，另一個加數不變，那麼，它們的和也減少同一個數．
8＋6=14
(8－4)＋6=14－4
a＋b＝c
(a－m)＋b=c－m(a≥m)
a＋(b－m)=c－m(b≥m)
(三)如果一個加數增加一個數，另一個加數減少同樣的加數，那麼，它們的和不變．
8＋3=11
(8＋2)＋(3－2)=11
(8－6)＋(3＋6)=11
a＋b=c
(a＋m)＋(b－m)=c(b≥m)
(a－m)＋(b＋m)＝c(a≥m)
(四)如果一個加數增加一個數m，另一個加數增加一個數n，那麼，它們的和就增加(m＋n)．
5＋3=8
(5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7)
(a＋m)＋(b＋n)=c＋(m＋n)
(五)如果一個加數減少一個數m，另一個加數減少一個數n，那麼，它們的和就減少(m＋n)．
30＋18=48
(30－15)＋(18－9)=48－(15＋9)
(a－m)＋(b－n)=c－(m＋n)
(六)如果一個加數增加一個數m，另一個加數減少一個數n，當m＞n時，它們的和就增加(m－n)；當m＜n時，它們的和就減少(n－m)．
8＋5=13
(8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3)
(8＋2)＋(5－4)=13－(4－2)
a－b=c
(a＋m)＋(b－n)=c＋(m－n)(m＞n)
＝c－(n－m)(n＞m)
二、差的變化規律
(一)如果被減數增加或減少一個數，減數不變，那麼它們的差也增加或減少同一個數．
9－5=4
(9＋3)－5=4＋3
(9－2)－5=4－2
a－b＝c
(a＋m)－b=c＋m
(a－m)－b＝c－m(c≥m)
(二)如果減數增加或減少一個數，被減數不變，那麼，它們的差就減少或增加同一個數．
9－(5＋3)=4－3
9－(5－3)=4＋3
a－(b＋m)=c－m(a≥b＋m)
a－(b－m)=c＋m(b≥m)
(三)如果被減數和減數同時增加或減少同一個數，那麼，它們的差相等．
15－8=7
(15＋3)－(8＋3)=7
(15－5)－(8－5)=7
(a＋m)－(b＋m)=c
(a－m)－(b－m)=c(a≥m b≥m)
(四)如果被減數增加一個數m，減數減少一個數n，那麼，它們的差就增加(m＋n)．
18－12=6
(18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3)
(a＋m)(b－n)＝c＋(m－n)(b≥n)
(五)如果被減數減少一個數m，減數增加一個數n，那麼，它們的差就減少(m＋n)
(18－2)－(12＋1)=6－(2＋1)
(a－m)－(b＋n)=c－(m＋n)(c≥m＋n)
(六)如果被減數增加一個數m，減數增加一個數n，那麼，當m＞n時，它們的差就增加(m＋n)；當m＜n時，它們的差就減少(n－m)．
20－12=8
(20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3)
(20＋5)－(12＋6)=8－(6－5)
(a＋m)－(b＋n)=c＋(m－n)(m＞n)
(a＋m)－(b＋n)＝c－(n－m)(m＜n)
(七)如果被減數減少一個數m，減數減少一個數n，那麼，當m＞n時，它們的差要減少(m－n)；當 m＜n時，它們的差要增加(n－m)．
40－22=18
(40－3)－(22－2)=18－(3－2)
(40－5)－(22－7)=18＋(7－5)
(a－m)－(b－n)＝c－(m－n)(m＞n)
(a－m)(b－n)＝c＋(n－m)(n＞m)
三、積的變化規律
(一)如果一個因數擴大m倍，另一個因數不變，那麼，它們的積也擴大m倍．
8×5=40
(8×3)×5=40×3
8×(5×4)=40×4
a×b＝c
(a×m)×b＝c×m
a×(b×m)=c×m
(二)如果一個因數縮小m倍，另一個因數不變，那麼，它們的積也縮小m倍．
如：25×4=100
(25÷5)×4=100÷5
25×(4÷2)=110÷2
(a÷m)×b=c÷m
a×(b÷m)=c÷m
(三)如果一個因數擴大m倍，另一個因數縮小相同的倍數，那麼它們的積不變．
45×10=450
(45×2)×(10÷2)=450
(45÷5)×(10×5)=450
a×b=c
(a×m)×(b÷m)＝c (m≠0)
(a÷m)×(b×m)＝c(m≠0)
(四)如果一個因數擴大m倍，另一個因數擴大n倍，那麼，它們的積擴大(m×n)倍．
4×5=20
(4×3)×(5×2)=20×(3×2)
(a×m)×(b×n)＝c×(m×n)(m≠0，n≠0)
(五)如果一個因數縮小m倍，另一個因數縮小n倍，那麼，它們的積就縮小(m×n)倍．
20×8=160
(20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4)
(a÷m)×(b÷n)=c÷(m×n)(m≠0，n≠0)
(六)如果一個因數擴大m倍，另一個因數縮小n倍，那麼，當m＞n時它們的積擴大(m÷n)倍，當m＜n時，它們的積就縮小(n÷m)倍．
8×6=48
(8×10)×(6÷2)＝48×(10÷2)
(8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2)
(a×m)×(b÷n)＝c×(m÷n)(m＞n)(n≠0)
(a×m)÷(b÷n)=c÷(n÷m)(m＜n)(m≠0)
四、商的變化規律
(一)如果被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，那麼，它們的商不變．
42÷6=7
(42×2)÷(6×2)=7
(42÷3)÷(6÷3)=7
a÷b=c
(a×m)÷(b×m)＝c(m≠0)
(a÷m)÷(b÷m)=c(m≠0)
(二)如果被除數擴大(或縮小)m倍，除數不變，那麼，它們的商就擴大(或縮小)m倍．
16÷2=8
(16×3)÷2＝8×3
(16÷2)÷2=8÷2
(a×m)÷b＝c×m(m≠0)
(a÷m)÷b＝c÷m (m≠0)
(三)如果除數擴大或縮小m倍，被除數不變，那麼，它們的商反而縮小或擴大m倍．
44÷11=4
44÷(11×2)=4÷2
44÷(11÷11)＝4×11
a÷(b×m)=c÷m(m≠0)
a÷(b÷m)＝c×m (m≠0)
(四)如果被除數擴大m倍，除數縮小n倍，那麼，它們的商就擴大(m×n)倍．
72÷9=8
(72×2)÷(9÷3)＝8×(2×3)
a÷b＝c
(a×m)÷(b÷n)＝c×(m×n)(m，n≠0)
(五)如果被除數縮小m倍，除數擴大n倍，那麼，它們的商就縮小(m×n)倍．
72÷6=12
(72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2)
(a÷m)÷(b×n)＝c÷(m×n)(m≠0 n≠0)
(六)如果被除數擴大m倍，除數擴大n倍，當m＞n時，它們的商就擴大(m÷n)倍，當m＜n時，它們的商就縮小(n÷m)倍．
96÷24=4
(96×4)÷(24×2)=4×(4÷2)
(96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2)
(a×m)÷(b×n)＝c×(m÷n)(m＞n，n≠0)
(a×m)÷(b×n)＝c÷(n÷m)(m＜n，m≠0)
(七)如果被除數縮小m倍，除數縮小n倍，當m＞n時，它們的商就縮小(m÷n)倍，當m＜n時，它們的商就擴大(n÷m)倍．
64÷16=4
(64÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2)
(64÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2)
(a÷m)÷(b÷n)=c÷(m÷n)(m＞n n≠0)
(a÷m)÷(b÷n)=c×(n÷m)(m＜n m≠0)
加減法混合運算的性質
(一)交換的性質
在加減混合運算式題中，帶著數字前的運算子號，變換加、減數的位置順序進行計算，結果不變．如
a＋b－c=a－c＋b (a≥c)
＝b－c＋a (b≥c)
(二)結合的性質
在加減混合運算中，可以把加數、減數用括號括起來．當加號後面添括號時，原來的加數，減數都不變；當減號後面添括號時，則原來的減數變加數，加數變減數．如
a－b＋c－d＋m
=(a－b)＋(c－d)＋m (a≥b，c≥d)
＝a－(b－c)－(d－m) (b≥c，d≥m)
=a＋(m－b)＋(c－d) (m≥b，c≥d)
可以歸納為，括號前面是加號，去掉括號不變“號”；加號後面添括號，括號裡面不變“號”，括號前面是減號，去掉括號要變“號”，減號後面填括號，括號裡面要變“號”．
和差積商的變化規律
一、和的變化規律
(一)如果一個加數增加一個數，另一個加數不變，那麼它們的和也增加同一個數．
例如：
3＋5=8 a＋b=c
(3＋2)＋5=8＋2 (a＋m)＋b=c＋m
a＋(b＋m)=c＋m
(二)如果一個加數減少一個數，另一個加數不變，那麼，它們的和也減少同一個數．
例如：
8＋6=14
(8－4)＋6=14－4
a＋b＝c
(a－m)＋b=c－m(a≥m)
a＋(b－m)=c－m(b≥m)
(三)如果一個加數增加一個數，另一個加數減少同樣的加數，那麼，它們的和不變．
例如：
8＋3=11
(8＋2)＋(3－2)=11
(8－6)＋(3＋6)=11
a＋b=c
(a＋m)＋(b－m)=c(b≥m)
(a－m)＋(b＋m)＝c(a≥m)
(四)如果一個加數增加一個數m，另一個加數增加一個數n，那麼，它們的和就增加(m＋n)．
例如：
5＋3=8
(5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7)
a＋b＝c
(a＋m)＋(b＋n)=c＋(m＋n)
(五)如果一個加數減少一個數m，另一個加數減少一個數n，那麼，它們的和就減少(m＋n)．
例如：
30＋18=48
(30－15)＋(18－9)=48－(15＋9)
a＋b＝c
(a－m)＋(b－n)=c－(m＋n)
(六)如果一個加數增加一個數m，另一個加數減少一個數n，當m＞n時，它們的和就增加(m－n)；當m＜n時，它們的和就減少(n－m)．
例如：
8＋5=13
(8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3)
(8＋2)＋(5－4)=13－(4－2)
a－b=c
(a＋m)＋(b－n)=c＋(m－n)(m＞n)
＝c－(n－m)(n＞m)
二、差的變化規律
(一)如果被減數增加或減少一個數，減數不變，那麼它們的差也增加或減少同一個數．
例如：
9－5=4
(9＋3)－5=4＋3
(9－2)－5=4－2
a－b＝c
(a＋m)－b=c＋m
(a－m)－b＝c－m(c≥m)
(二)如果減數增加或減少一個數，被減數不變，那麼，它們的差就減少或增加同一個數．
例如：
9－5=4
9－(5＋3)=4－3
9－(5－3)=4＋3
a－b＝c
a－(b＋m)=c－m(a≥b＋m)
a－(b－m)=c＋m(b≥m)
(三)如果被減數和減數同時增加或減少同一個數，那麼，它們的差相等．
例如：
15－8=7
(15＋3)－(8＋3)=7
(15－5)－(8－5)=7
a－b＝c
(a＋m)－(b＋m)=c
(a－m)－(b－m)=c(a≥m b≥m)
(四)如果被減數增加一個數m，減數減少一個數n，那麼，它們的差就增加(m＋n)．
例如：
18－12=6
(18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3)
a－b＝c
(a＋m)(b－n)＝c＋(m－n)(b≥n)
(五)如果被減數減少一個數m，減數增加一個數n，那麼，它們的差就減少(m＋n)
例如：
18－12=6
(18－2)－(12＋1)=6－(2＋1)
a－b＝c
(a－m)－(b＋n)=c－(m＋n)(c≥m＋n)
(六)如果被減數增加一個數m，減數增加一個數n，那麼，當m＞n時，它們的差就增加(m＋n)；當m＜n時，它們的差就減少(n－m)．
例如：
20－12=8
(20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3)
(20＋5)－(12＋6)=8－(6－5)
a－b＝c
(a＋m)－(b＋n)=c＋(m－n)(m＞n)
(a＋m)－(b＋n)＝c－(n－m)(m＜n)
(七)如果被減數減少一個數m，減數減少一個數n，那麼，當m＞n時，它們的差要減少(m－n)；當 m＜n時，它們的差要增加(n－m)．
例如：
40－22=18
(40－3)－(22－2)=18－(3－2)
(40－5)－(22－7)=18＋(7－5)
a－b＝c
(a－m)－(b－n)＝c－(m－n)(m＞n)
(a－m)(b－n)＝c＋(n－m)(n＞m)
三、積的變化規律
(一)如果一個因數擴大m倍，另一個因數不變，那麼，它們的積也擴大m倍．
例如：
8×5=40
(8×3)×5=40×3
8×(5×4)=40×4
a×b＝c
(a×m)×b＝c×m
a×(b×m)=c×m
(二)如果一個因數縮小m倍，另一個因數不變，那麼，它們的積也縮小m倍．
如：25×4=100
(25÷5)×4=100÷5
25×(4÷2)=110÷2
a×b＝c
(a÷m)×b=c÷m
a×(b÷m)=c÷m
(三)如果一個因數擴大m倍，另一個因數縮小相同的倍數，那麼它們的積不變．
例如：
45×10=450
(45×2)×(10÷2)=450
(45÷5)×(10×5)=450
a×b=c
(a×m)×(b÷m)＝c (m≠0)
(a÷m)×(b×m)＝c(m≠0)
(四)如果一個因數擴大m倍，另一個因數擴大n倍，那麼，它們的積擴大(m×n)倍．
例如：
4×5=20
(4×3)×(5×2)=20×(3×2)
a×b=c
(a×m)×(b×n)＝c×(m×n)(m≠0，n≠0)
(五)如果一個因數縮小m倍，另一個因數縮小n倍，那麼，它們的積就縮小(m×n)倍．
例如：
20×8=160
(20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4)
a×b=c
(a÷m)×(b÷n)=c÷(m×n)(m≠0，n≠0)
(六)如果一個因數擴大m倍，另一個因數縮小n倍，那麼，當m＞n時它們的積擴大(m÷n)倍，當m＜n時，它們的積就縮小(n÷m)倍．
例如：
8×6=48
(8×10)×(6÷2)＝48×(10÷2)
(8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2)
a×b=c
(a×m)×(b÷n)＝c×(m÷n)(m＞n)(n≠0)
(a×m)÷(b÷n)=c÷(n÷m)(m＜n)(m≠0)
四、商的變化規律
(一)如果被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，那麼，它們的商不變．
例如：
42÷6=7
(42×2)÷(6×2)=7
(42÷3)÷(6÷3)=7
a÷b=c
(a×m)÷(b×m)＝c(m≠0)
(a÷m)÷(b÷m)=c(m≠0)
(二)如果被除數擴大(或縮小)m倍，除數不變，那麼，它們的商就擴大(或縮小)m倍．
例如：
16÷2=8
(16×3)÷2＝8×3
(16÷2)÷2=8÷2
a÷b=c
(a×m)÷b＝c×m(m≠0)
(a÷m)÷b＝c÷m (m≠0)
(三)如果除數擴大或縮小m倍，被除數不變，那麼，它們的商反而縮小或擴大m倍．
例如：
44÷11=4
44÷(11×2)=4÷2
44÷(11÷11)＝4×11
a÷(b×m)=c÷m(m≠0)
a÷(b÷m)＝c×m (m≠0)
(四)如果被除數擴大m倍，除數縮小n倍，那麼，它們的商就擴大(m×n)倍．
例如：
72÷9=8
(72×2)÷(9÷3)＝8×(2×3)
a÷b＝c
(a×m)÷(b÷n)＝c×(m×n)(m，n≠0)
(五)如果被除數縮小m倍，除數擴大n倍，那麼，它們的商就縮小(m×n)倍．
例如：
72÷6=12
(72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2)
a÷b＝c
(a÷m)÷(b×n)＝c÷(m×n)(m≠0 n≠0)
(六)如果被除數擴大m倍，除數擴大n倍，當m＞n時，它們的商就擴大(m÷n)倍，當m＜n時，它們的商就縮小(n÷m)倍．
例如：
96÷24=4
(96×4)÷(24×2)=4×(4÷2)
(96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2)
a÷b＝c
(a×m)÷(b×n)＝c×(m÷n)(m＞n，n≠0)
(a×m)÷(b×n)＝c÷(n÷m)(m＜n，m≠0)
(七)如果被除數縮小m倍，除數縮小n倍，當m＞n時，它們的商就縮小(m÷n)倍，當m＜n時，它們的商就擴大(n÷m)倍．
例如：
64÷16=4
(64÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2)
(64÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2)
a÷b＝c
(a÷m)÷(b÷n)=c÷(m÷n)(m＞n n≠0)
(a÷m)÷(b÷n)=c×(n÷m)(m＜n m≠0)
加減法混合運算的性質
(一)交換的性質
在加減混合運算式題中，帶著數字前的運算子號，變換加、減數的位置順序進行計算，結果不變．如
a＋b－c=a－c＋b (a≥c)
＝b－c＋a (b≥c)
(二)結合的性質
在加減混合運算中，可以把加數、減數用括號括起來．當加號後面添括號時，原來的加數，減數都不變；當減號後面添括號時，則原來的減數變加數，加數變減數．如
a－b＋c－d＋m
=(a－b)＋(c－d)＋m (a≥b，c≥d)
＝a－(b－c)－(d－m) (b≥c，d≥m)
=a＋(m－b)＋(c－d) (m≥b，c≥d)
可以歸納為，括號前面是加號，去掉括號不變“號”；加號後面添括號，括號裡面不變“號”，括號前面是減號，去掉括號要變“號”，減號後面填括號，括號裡面要變“號”．