1.從1到N的平方和的推導：1²+2²+3²+。 。 。 +n²= n（n + 1）（2n + 1）/ 6
從1²+2²+3²+起。 。 。 +n²= n（n + 1）（2n + 1）/ 6
∵（a + 1）³-a³=3a²+ 3a + 1（即（a + 1）³=a³+3a²+ 3a + 1）
當a = 1時：2³-1³= 3×1²+ 3×1 + 1
當a = 2時：3³-2³= 3×2²+ 3×2 + 1
當a = 3時：4³-3³= 3×3²+ 3×3 + 1
當a = 4時：5³-4³= 3×4²+ 3×4 + 1
...
當a = n時：（n + 1）³-n³= 3×n²+ 3×n + 1
將等式的兩邊相加：
（N + 1）³-1= 3（1²+2²+3²+ ... +n²）+3（1 + 2 + 3 + ... + n）+（1 + 1 + 1 + ... + 1）
3（1²+2²+3²+ ... +n²）=（n + 1）³-1-3（1 + 2 + 3 + ... + n）-（1 + 1 + 1 + ... + 1）
3（1²+2²+3²+ ... +n²）=（n + 1）³-1-3（1 + n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+ ... +n²）= 2（n + 1）³-3n（1 + n）-2（n + 1）
=（n + 1）[2（n + 1）²-3n-2]
=（n + 1）[2（n + 1）-1] [（n + 1）-1]
= n（n + 1）（2n + 1）
²1²+2²+。 。 。 +n²= n（n + 1）（2n + 1）/ 6
2. 1到N的立方和微分：1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + ... + n ^ 3 = [n（n + 1）/ 2] ^ 2
推導：（n + 1）^ 4-n ^ 4 = 4n ^ 3 + 6n ^ 2 + 4n + 1，
n ^ 4-（n-1）^ 4 = 4（n-1）^ 3 + 6（n-1）^ 2 + 4（n-1）+1，
2 ^ 4-1 ^ 4 = 4 * 1 ^ 3 + 6 * 1 ^ 2 + 4 * 1 + 1，
分別將這n個方程式的兩端相加，我們得到：
（n + 1）^ 4-1 = 4（1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 ... + n ^ 3）+6（1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2） +4（1 + 2 + 3 + ... + n）+ n
由於1 + 2 + 3 + ... + n =（n + 1）n / 2，
1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2 = n（n + 1）（2n + 1）/ 6，
完成上述公式後，我們得到：
1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + ... + n ^ 3 = [n（n + 1）/ 2] ^ 2
1.從1到N的平方和的推導：1²+2²+3²+。 。 。 +n²= n（n + 1）（2n + 1）/ 6
從1²+2²+3²+起。 。 。 +n²= n（n + 1）（2n + 1）/ 6
∵（a + 1）³-a³=3a²+ 3a + 1（即（a + 1）³=a³+3a²+ 3a + 1）
當a = 1時：2³-1³= 3×1²+ 3×1 + 1
當a = 2時：3³-2³= 3×2²+ 3×2 + 1
當a = 3時：4³-3³= 3×3²+ 3×3 + 1
當a = 4時：5³-4³= 3×4²+ 3×4 + 1
...
當a = n時：（n + 1）³-n³= 3×n²+ 3×n + 1
將等式的兩邊相加：
（N + 1）³-1= 3（1²+2²+3²+ ... +n²）+3（1 + 2 + 3 + ... + n）+（1 + 1 + 1 + ... + 1）
3（1²+2²+3²+ ... +n²）=（n + 1）³-1-3（1 + 2 + 3 + ... + n）-（1 + 1 + 1 + ... + 1）
3（1²+2²+3²+ ... +n²）=（n + 1）³-1-3（1 + n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+ ... +n²）= 2（n + 1）³-3n（1 + n）-2（n + 1）
=（n + 1）[2（n + 1）²-3n-2]
=（n + 1）[2（n + 1）-1] [（n + 1）-1]
= n（n + 1）（2n + 1）
²1²+2²+。 。 。 +n²= n（n + 1）（2n + 1）/ 6
2. 1到N的立方和微分：1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + ... + n ^ 3 = [n（n + 1）/ 2] ^ 2
推導：（n + 1）^ 4-n ^ 4 = 4n ^ 3 + 6n ^ 2 + 4n + 1，
n ^ 4-（n-1）^ 4 = 4（n-1）^ 3 + 6（n-1）^ 2 + 4（n-1）+1，
...
2 ^ 4-1 ^ 4 = 4 * 1 ^ 3 + 6 * 1 ^ 2 + 4 * 1 + 1，
分別將這n個方程式的兩端相加，我們得到：
（n + 1）^ 4-1 = 4（1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 ... + n ^ 3）+6（1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2） +4（1 + 2 + 3 + ... + n）+ n
由於1 + 2 + 3 + ... + n =（n + 1）n / 2，
1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2 = n（n + 1）（2n + 1）/ 6，
完成上述公式後，我們得到：
1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + ... + n ^ 3 = [n（n + 1）/ 2] ^ 2