對偶概念的一切一切的本質是對偶範疇.
在同一個範疇裡，物件之間透過態射相聯絡. 而在不同的範疇之間，則透過函子聯絡：函子把一個範疇裡的物件映到另一個範疇裡的物件，同時把物件間的態射映到相應物件間的態射. 這性質簡直逆天. 我先給出共變函子和反變函子的定義：
定義1：設 和 是兩個範疇. 從 到 的共變函子(covariant functor) 滿足兩個性質(1)它把 中的物件 映為 中的物件 (2)它把態射 映為態射 , 這些對映要滿足下列條件:
(I) 對於 中的物件 都成立 ；
(II) 對於 中所有使 有意義的態射 和 .
定義2：設 和 是兩個範疇. 從 到 的反變函子(contravariant functor) 滿足兩個性質(1)它把 中的物件 映為 中的物件 (2)它把態射 映為態射 , 這些對映要滿足下列條件:
反變函子就是把共變函子的箭頭換個方向.
基於這樣的想法和以上的概念，對於給定一個範疇 , 我們會這樣給出對偶範疇(dual category) : 使得 , 且 .從這個定義就可以看出 中的共變函子就是 中的反變函子.
舉個例子：考慮範疇 是域上的有限維向量空間, 態射是向量空間之間的同構對映. 如果 是 裡的態射, 那麼就有它的對偶對映 也是 裡的態射, 且有 . 如果定義 , 實際上是一種同構.
從範疇角度來講為什麼會經常出現一些對偶的概念, 因為當我們看到 這樣的關係時總希望箭頭反過來也能成立, 由此對偶的概念必然會產生的.
有種大炮轟蚊子的感覺。。。。
對偶概念的一切一切的本質是對偶範疇.
在同一個範疇裡，物件之間透過態射相聯絡. 而在不同的範疇之間，則透過函子聯絡：函子把一個範疇裡的物件映到另一個範疇裡的物件，同時把物件間的態射映到相應物件間的態射. 這性質簡直逆天. 我先給出共變函子和反變函子的定義：
定義1：設 和 是兩個範疇. 從 到 的共變函子(covariant functor) 滿足兩個性質(1)它把 中的物件 映為 中的物件 (2)它把態射 映為態射 , 這些對映要滿足下列條件:
(I) 對於 中的物件 都成立 ；
(II) 對於 中所有使 有意義的態射 和 .
定義2：設 和 是兩個範疇. 從 到 的反變函子(contravariant functor) 滿足兩個性質(1)它把 中的物件 映為 中的物件 (2)它把態射 映為態射 , 這些對映要滿足下列條件:
(I) 對於 中的物件 都成立 ；
(II) 對於 中所有使 有意義的態射 和 .
反變函子就是把共變函子的箭頭換個方向.
基於這樣的想法和以上的概念，對於給定一個範疇 , 我們會這樣給出對偶範疇(dual category) : 使得 , 且 .從這個定義就可以看出 中的共變函子就是 中的反變函子.
舉個例子：考慮範疇 是域上的有限維向量空間, 態射是向量空間之間的同構對映. 如果 是 裡的態射, 那麼就有它的對偶對映 也是 裡的態射, 且有 . 如果定義 , 實際上是一種同構.
從範疇角度來講為什麼會經常出現一些對偶的概念, 因為當我們看到 這樣的關係時總希望箭頭反過來也能成立, 由此對偶的概念必然會產生的.
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