學過線性代數的都知道，行列式是從線性方程組需要行或者列的線性變換得來的，因此行列式可以看成是線性變換的伸縮因子，幾何特點是變換前後線性特徵不變，只是進行了拉伸，收縮，旋轉等操作！

行列式是線性代數的重要概念之一。不幸的事，對於相當多的國內教材和初學者而言，除了一串看似複雜的公式和一串相關定理之外，似乎一切都不知所云。

Wong！行列式有著極其清晰和簡明的數學含義，特別是，具有明確的幾何含義。

首先，我們必須認識到線性代數和（高維）幾何的極大相關性，甚至可以說，線性代數就是線性幾何。nothing more，nothing less。

行列式，矩陣的逆，矩陣的秩（rank），這三個重要的概念極其相關，幾乎是一回事。

一個n階矩陣，代表的就是一個n維歐幾里得空間裡的n個點或向量，它們在n維空間裡“張開”形成一個子空間，行列式就是這個“子空間”（平行2n面體）的有向“超體積”。

這本身可以作為一個習題，不算太難，用數學歸納法很好證明。

顯然，假如這個矩陣的n個向量不是完全線性獨立的，就是說某個向量可以用其他向量線性組合出來，那從幾何上看，那個張開的子空間就是一個“扁平”的，其超體積必然為0。

所以，一個方陣是否線性相關，完全等價於其行列式是否=0。從此可以引申，一個存線上性相關性的矩陣必然沒有“逆”，矩陣本身就顯然代表了線性組合或線性變換，逆就是反變換。用一個行列式=0的線性相關矩陣去變化，必然把輸入也扁平化，就像*0，0沒有倒數，所以行列式=0的矩陣沒有逆。

同樣，秩（rank）就是指矩陣中存在的線性無關的向量的最大數，當秩=n是就是“滿秩”，此時行列式≠0，矩陣有逆。秩的幾何意義就是這n個向量張開的最大的體積非零的子空間維度。

線性代數里計算行列式，計算逆，計算秩，都有很多方法，但我推薦一種，統一的方法，從中可以看出三者是幾乎完全一致的數學概念。

方法就是“對角化”，透過行變換和列變換（本身代表線性組合），逐步把矩陣變成只有對角線≠0，其它位置全=0的陣。什麼時候進行不下去了（此時右下餘陣全0），就得到了秩。如果進行完全，就是滿秩。

過程中如果對角線沒有歸一化，對角線乘積就是行列式的值。（求秩和行列式其實不必完全對角化，三角化就可以）。

如果過程中對角線做了歸一化（全=1），那你的整個過程就相當於求逆，同一過程應用在一個單位I陣上，就是原矩陣的逆。

請牢記，線性代數就是幾何，線性幾何就是矩陣，你既可以用幾何來輔助理解線性代數，更可以利用矩陣的強大功能來秒殺各種幾何問題。

當然，如果為了比較深入地理解矩陣和行列式，我建議從線性對映（或變換）的幾何意義入手

比如說，考慮R^n上的線性變換，y=f(x)=Ax，那麼det(A)具有（有向）體積比的意義，也就是說，x的某個鄰域U在這個對映下得到的像V（V是y的某個鄰域）之間的有向體積的比det(A)=vol(V)/vol(U)，這裡U和V的體積都帶有定向

你在某些場合可能會看到行列式表示n維平行多胞體的有向體積，這和上述講法是相容的，你可以理解為A的列恰好表示單位向量（單位陣I的列，也就是單位立方體的邊）在對映A下的像，從而A把單位立方體對映到一個平行多胞體，兩者的體積比就是那個平行多胞體的體積，如果det(A)<0則表示中間出現了左右手系的切換

行列式的很多性質（比如行列式在錯切變換下不變，交換兩列時變號，以及行列式乘積定理det(AB)=det(A)det(B)，Cramer法則等）都可以用幾何意義來理解

另外，上述解釋不僅適用於線性變換，對於比較光滑的非線性變換y=f(x)而言，Jacobi行列式的意義也是這樣解釋（對映前後體積微元的體積比），線性變換的Jacobi矩陣是常數矩陣，所以整套系統其實都是一回事

行列式只不過是方線性方程組經進行變換的兩個特點而已

你可以把行列式理解為一種乘法，是一種乘法而已！

而矩陣就是一種特殊的函式而已

其實，這些本質的東西，說太多了你反而不懂，簡單的東西別搞得太複雜

國內，非數學專業的《線性代數》教材，一上來就直接給出行列式的表示式，然後直接講應用。這使得很多初學者根本就不理解行列式，更別提本質問題了。要回答題主的問題，首先要搞清楚 行列式的推導過程，然後才是本質，最後才是現實意義和應用。

行列式的推導

設 K 是數域，可以是實數域 R 或 複數域 C，V 是 K 上的線性空間，對於 V 上的 n 元函式 f: V × ... × V → K（n 個 V），若 f 滿足多線性，即（α_j, β_j ∈ V, j = 1, 2, ..., n, k ∈ K ），

則稱 f 為 線性函式，若，函式 f 還滿足反對稱性，即，任意互換兩個引數函式值取負（i ≠ j; i,j = 1, 2, ..., n），

則稱 f 為 反對稱線性函式。

K 上的 n 階矩陣 的全體 記為 M_n(K)。考慮，M_n(K) 上的函式 det : M_n(K) → K，對於 任意 A ∈ M_n(K) ，

由於 A 可看作 n 維度向量空間 K^n 中的 n 個列向量 α_1, α_2, ..., α_n ∈ K^n 組成的列向量組：

所以 函式 det 也可以看作 K^n 上的 n 元函式 det: K^n × ... × K^n → K（n 個 K^n)。規定 det 是 反對稱線性函式，因為 det 是以 矩陣的列向量為引數的，所以暫時稱 det 是 矩陣的列線性函式。

反對稱函式有性質：若，反對線性函式 f 的任意兩個引數相同，則，f 的值必然為 0，因為：

注：從這條性質也可以反推出反對稱性，另外，只需要保證 滿足“條件：相鄰兩個引數相同函式值為零”就可推出上面任意的情況，因此 該條件 也可以作為反對稱性的定義。

如果 方陣 A 不滿秩，即，r (A) < n，則說明： 必有 列向量 α_j 被他向量向量線性表示，即，

於是 根據 det 的多線性和上面的反對稱函式性質有：

方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i,j) 相當於交換 A 的 i, j 兩列，即（不妨設 i < j），

於是，根據 det 的反對稱性有：

方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i(k)) 相當於在 A 的 第 i 列乘以常數 k，即，

於是，根據 det 的多線性有：

方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i, j(k)) 相當於把 A 的 第 i 列乘以常數 k 加到 第 j 列，即（不妨設 i < j），

於是，根據 det 的多線性和上面的反對稱函式性質有：

綜上的可以得出對於初等矩陣 P 有：

考慮 det(Aᵀ) 和 det(A) 的關係：

當 r(A) < n 時，由於轉置不改變 A 的秩，於是有 r(Aᵀ) = r(A) < 0，進而 det(Aᵀ) = 0 = det(A)；下面重點分析當 A 滿秩，即， r(A) = n 時的情況。

因為方陣左右（左）乘初等矩陣相當於對方陣做對應的初等列（行）變換，再根據高斯消元法的經驗，以及初等變換的可逆性，可得出任何矩陣 A 均可化為 初等矩陣的相乘的形式，即：

其中 D 是矩陣標準形。由於初等變換不改變矩陣的秩，於是 r(A) = r(D)，當 A 滿秩時，D 也滿秩，而 E 是唯一滿秩的 方陣的標準形，於是這時有：

即，

於是：

因為 E(i,j)ᵀ = E(i,j)，E(i(k))ᵀ = E(i(k))，E(i,j(k))ᵀ = E(j, i(k)) 所以有：

於是：

進而：

綜上，可得：

這說明 矩陣的列線性函式 det 也是 該矩陣的行線性函式，於是在新增規定：

後 改稱 det 為 行列式函式。

行列式函式 det 是唯一的，因為：

令 det" 是另外一個 行列式函式，在方陣 A 不滿秩時，有 det"(A) = 0 = det(A)；在方陣 A 不滿秩時滿秩時，有 A = EP_1...P_m，於是和上面的推導同理有：

而 在新新增規定下 det(E) = det"(E) = 1，於是 det"(A) = det(A)。

綜上就證明了：對於任意 方陣 A 在任何情況下，det"(A) = det(A)，即，det 唯一。

利用新新增規定，顯然有：

於是：

考慮 det(AB)。當 A 和 B 不都滿秩時，r(AB) = min{r(A), r(B)} < n ，於是：

當 A B 全滿秩時，則有：

於是：

進而：

綜上就證明了：行列式函式保持方陣乘法運算，即，

注：其實從 det(AB) = det(A)det(B) 也可以反推 det(E) = 1，不過要新增條件 det 非恆零。（可考慮作為 行列式函式 定義中最後新增的規定，感覺更高大上一些）

設 n 階單位矩陣 E 的行向量組表示為：

則有：

其中 (j_1, ..., j_n) 是 1, ..., n 個數字的任意排列，於是 (e_{j_1}, ..., e_{j_n}) 就是 對 E 列向量的任意排列，於是必有：

其中 N(j_1, ...,j_n) 稱為 排列 (j_1, ..., j_n) 的 反序數，於是：

最終得到：

上面等式右邊就是行列式函式 det 的解析表示式，稱為 行列式，記為 |A|。

行列式的本質

從行列式的推導過程，知道 行列式 是 向量空間 K^n 上的一個特殊的 n 元線性函式 det: K^n × ... × K^n → K（n 個 K^n） 而我們知道，K^n 上的 n 元線性函式 就是 K^n 上的 n 階協變張量。

單位矩陣 E 的 列向量組 e_1, e_2, ..., e_n 為 K^n 的 標準正交基，其在對偶空間 (K^n)* 下的對偶基 設為：e^1, e^2, ..., e^n，有：

令 α = (a_1, a_2, ..., a_2)ᵀ ，則：

於是 有：

其中：

即，行列式的本質是：

行列式的幾何意義

行列式的幾何意義為：n 維空間中，以 n 個 行（列）向量 張成 的 平行矩體的 有方向的體積。

一維情況下，平行矩體，就是直線段，行列式就是直線段的 有方向長度：

二維情況下，平行矩體 就是 平行四邊形，行列式就是平行四邊形的 有方向面積：

三維情況下，平行矩體 就是 平行六面體，就是 平行六面體的有方向體積，令，

有：

高維度類似，低一級維度的體積，就是高一級維度的底面積。（大家有興趣可以自己推導）。

矩陣不滿秩行列式為 0，就意味著，平行矩體 塌縮在 底面上，高度為 0，當然體積也就是 0 了。

行列式的應用

解線方程組 克萊姆法則：對於 非齊次線性方程組，

令：

當 係數矩陣 A 的行列式 |A|≠ 0 時， 則該線性方程有唯一的解：

齊次線性方程組 有非零解的 充要條件是 |A| = 0。

求方陣的逆陣：令，

稱 A* 是方陣 A 的伴隨矩陣。

方陣 A 可逆的充要條件是 |A| ≠ 0，當 n \ge 2 時，有：

判斷矩陣的秩：對於矩陣 A_{m× n}，令，

稱為 A_{m× n} 的 r 階子式。對於 r(A_{m× n}) = r 的充要條件是 A_{m× n} 存在 r 階子式 不為 0 而 r + 1 階子式均為 0。

方陣 A_n 滿秩 充要條件是 |A_n| ≠ 0。

範德蒙行列式：

雅克比行列式：

寫到最後發現篇幅又超長了，於是關於"行列式本質解決什麼問題" 只能 泛泛的羅列一些應用。至於那個是 行列式的本質應用？我傾向於解方程，但不確定。

其實行列式一開始主要是在用消元法解二元及三元一次線性方程組時，發現的一種算術規律。後來加上矩陣後，相關理論也越來越豐富。對大部分大學生初學線性代數，都會覺得這套東西不好接受，因為教材裡面的內容都比較多複雜的推導及步驟繁多的變換運算。

本文較為硬核，請酌情跳過部分內容。

如果你真想知道行列式（以及矩陣）究竟是在說什麼，我建議你看完全文。

行列式的本質其實很直觀，先說一下結論，行列式的本質是體積。

至於是什麼的體積？

請往下看。

從線性空間談起

對一些讀者來說，理解行列式的意義需要重塑對線性代數的整體認知，所以我要先介紹一下線性代數的“正確開啟方式”。

大部分線性代數教材都把線性方程組放在第一位，但我認為線性代數應該從線性空間講起。

線性空間也叫向量空間，之前學過線性代數的人可能會覺得這是個非常複雜的概念，但其實線性空間很簡單，最典型的線性空間就是我們熟悉的三維空間。

或許我應該從更簡單的一維空間談起，它也是一種線性空間。

一條直線其實就是一個一維空間，直線上有無窮多個點，或者說直線是由無窮多個點組成的。

類推下去，二維空間、三維空間、更高維的線性空間也都是由無窮多個點組成的，或者說：線性空間是點的集合。

一些讀者可能會反駁道：

線性空間明明是滿足8條運算定律的向量的集合，怎麼能說成是點的集合？

這其實就涉及到我們對向量的理解了，什麼是向量？

是有大小和方向的量嗎？

不是，尤其是線上性代數中，一定要注意：向量是滿足8條運算定律的量，它不需要有方向，也不需要有大小。

點，就是最直觀的例子。沒錯，點也是向量。其實這很好理解，當我們用座標去表示點或向量（暫且看成有大小和方向的量）的時候，用的方法是一樣的。

對於向量這個概念，重要的不是它究竟是什麼，而是它滿足的運算定律是什麼，也就是前文提到的8條運算定律：

這8條運算定律其實都很簡單，就是我們熟知的那種有大小和方向的量的運算定律。

只要滿足這8條運算定律，那就是向量。這會導致函式也是一種向量，引出非常豐富的內容，在本文中就不多提了。

“基”與“座標”

雖然向量不是有大小和方向的量，但是“有大小和方向的箭頭”的圖景可以幫助我們理解向量的性質，所以我們可以暫時把下文中的向量看成是“有大小和方向的箭頭”。

接下來就是重頭戲了，我們需要知道如何描述向量。很多人都知道可以用一組座標去描述向量，就像下面這樣：

但是，僅僅靠座標還不足以描述向量，因為座標系有很多種，一組座標在不同的座標系中表示的向量是不同的，就像下面這樣：

所以，在我們用一組座標表示向量的時候，一定要知道使用的是什麼座標系。線上性代數中，用“基”表示座標系，“基”其實也是向量，可以稱為基向量。

理解基向量需要重新認識座標系，我們通常對向量的座標表示的看法是：

把一個向量沿座標軸方向分解，或者是把一個向量投影到座標軸上，向量在座標軸上的投影的長度就是座標。

現在我們要放棄上面這種看法，轉而用基向量去重新理解座標，每一種座標系都有特定的基向量。

向量的座標表示其實是：

把一個向量表示成基向量的線性組合。所謂的“線性組合”其實就是乘以一個常數（向量的數乘）以後再相加（向量的加法）。

這種方法其實就是把基向量伸縮以後再首尾相連，“伸縮”就是向量的數乘，“首尾相連”就是向量的加法，伸縮的係數就是座標。

也就是說，完整描述一個向量需要“基向量”和“座標”，這二者缺一不可。很多人對於向量的印象僅僅只是“座標”，而忽略了“基向量”，這正是理解行列式的一個障礙，所以我一定要事先強調“基向量”的重要性。

在這裡就會出現一個很少有人明確告訴初學者的規則，基向量也是向量，描述基向量也需要“基向量”和“座標”。這時就會出現“無限套娃”的情況（基向量一層一層套下去），為了防止這種“無限套娃”，線性代數預設：

描述基向量的基向量是直角座標系的基向量。

這可能有點繞，不過我相信大家都能理解它。

也就是說線性代數有一個預設的“背景”，這個“背景”是直角座標系，在這個“背景”中構建出基向量，再用基向量的線性組合去表示一般的向量。

這是理解行列式必不可少的一環，我必須提前說清楚。

“基變換”與“座標變換”

不同的座標系有不同的基向量.同一個向量在不同座標系中有不同的座標。

上文的關鍵內容其實就是這兩句話。

變換是連線不同座標系的橋樑，也就是把一個座標系變換到另一個座標系。這種變換包括兩部分：

基變換座標變換

我們可以用一個簡單的旋轉變換看出它們之間的關係：

也就是說：基變換和座標變換是反著的，專業一點的說法是它們互為逆變換。

新的基向量是舊的基向量的線性組合。新的座標是舊的座標的線性組合。

到了這一步，才算是碰到了理解行列式的門檻。

矩陣的意義

矩陣和行列式很像，事實上行列式就是對矩陣進行一套運算之後的結果，所以在理解行列式之前需要先了解矩陣。

上面的旋轉變換還可以寫成這種形式：

也就是說，矩陣其實就是線性變換的一種表現形式。

不過僅僅對矩陣理解到這個程度還不夠，根本不足以進一步理解行列式，想要加深理解就需要先運用一下矩陣，比如用矩陣表示“基變換”和“座標變換”：

讓我們把重點放在“基變換”上面，“基變換”其實就是把新的基向量表示成舊的基向量的線性組合。相應的，矩陣中每一列的元素都是一個新的基向量的座標。

這也就是說，矩陣也是一組向量的座標，更準確地說是：一組基向量在另一組基向量中的座標。

“線性變換”和“一組向量的座標”其實是一回事，它們都是矩陣的意義。

（確實也可以簡單地說：矩陣就是一組向量。這可能是一個顯而易見的結果，不過簡單地觀察矩陣與向量的形式得到這個結論，和經過“基變換”得到這個結論相比，對結論的理解可遠遠不在一個檔次上。）

行列式的意義

現在，終於可以正式談論行列式的意義了。

前面說過：

行列式就是對矩陣進行一套運算之後的結果。矩陣是一組基向量在另一組基向量中的座標。

將它們綜合之後，大家就可以理解行列式的意義了。

行列式是一組基向量構成的圖形的“體積”，行列式的計算方法就是計算“體積”的方法。

基向量構成圖形的方法其實很簡單，兩個基向量構成的圖形就是平行四邊形，三個基向量構成的圖形就是平行六面體。

之所以統一用“體積”這個詞，而不用“面積”這個詞，是因為線性代數研究的向量是任意的n維空間中的向量，基向量構成的圖形也是任意的n維空間中的圖形，所以用“體積”這個詞更合適。

考慮到基向量是“單位向量”，所以行列式表示的“體積”也是“單位體積”，或者說是“體積元”。

（當然，這裡說的“體積”和我們熟悉的那個體積還是有些不同的，因為這裡說的“體積”是有方向的，這和行列式的計算方法有關。至於計算行列式的方法到底是怎麼來的，這就有些麻煩了，本文就不介紹了。）

線上性代數里面，行列式通常是用於判斷一個矩陣是否有逆矩陣。如果一個矩陣的行列式等於0，就說明這個矩陣沒有逆矩陣。

逆矩陣很好理解，在前面提到的旋轉變換裡面，表示順時針旋轉的矩陣的逆矩陣就是表示逆時針旋轉的矩陣。

一個矩陣存在逆矩陣其實就是說：矩陣表示的線性變換是可逆的，也就是在變換之後，還可以用逆變換變回原樣。

至於這和體積有什麼關係？

依然可以用基向量理解，線性變換是聯絡兩組基向量的橋樑，一個線性變換（“基變換”）存在逆變換其實就是說：兩組基向量都可以表示成對方的線性組合。

理解這些內容只需要看一張圖片：

如果一組基向量線上性變換之後發生了“降維”，那麼新的基向量就無法表示更“高維”的原本的基向量，這就說明這個線性變換沒有與之對應的逆變換。