在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i?= - 1。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。
後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。
可以將虛數bi新增到實數a以形成形式a + bi的複數，其中實數a和b分別被稱為複數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何複數。
我們把形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為複數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當虛部等於零時，這個複數可以視為實數；當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z為純虛數。
複數域是實數域的代數閉包，即任何復係數多項式在複數域中總有根。 複數是由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、尤拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。
擴充套件資料：
一、虛數的定義：
在數學裡，將偶指數冪是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是複數。定義為i?-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。
對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。
實數和虛陣列成的一對數在複數範圍內看成一個數，起名為複數。虛數沒有正負可言。不是實數的複數，即使是純虛數，也不能比較大小。
二、複數的定義：
數集拓展到實數範圍內，仍有些運算無法進行（比如對負數開偶數次方），為了使方程有解，我們將數集再次擴充。
在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：
z1 + z2=(a+c,b+d)
z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)
容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何複數z，我們有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)
令f是從實數域到複數域的對映，f(a)=(a,0)，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。
記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。
形如 的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且 （a，b是任意實數）
我們將複數中的實數a稱為複數z的實部（real part）記作Rez=a
實數b稱為複數z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.
當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。
複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。
複數集是無序集，不能建立大小順序。
參考資料：
在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i?= - 1。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。
後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。
可以將虛數bi新增到實數a以形成形式a + bi的複數，其中實數a和b分別被稱為複數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何複數。
我們把形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為複數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當虛部等於零時，這個複數可以視為實數；當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z為純虛數。
複數域是實數域的代數閉包，即任何復係數多項式在複數域中總有根。 複數是由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、尤拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。
擴充套件資料：
一、虛數的定義：
在數學裡，將偶指數冪是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是複數。定義為i?-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。
對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。
實數和虛陣列成的一對數在複數範圍內看成一個數，起名為複數。虛數沒有正負可言。不是實數的複數，即使是純虛數，也不能比較大小。
二、複數的定義：
數集拓展到實數範圍內，仍有些運算無法進行（比如對負數開偶數次方），為了使方程有解，我們將數集再次擴充。
在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：
z1 + z2=(a+c,b+d)
z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)
容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何複數z，我們有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)
令f是從實數域到複數域的對映，f(a)=(a,0)，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。
記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。
形如 的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且 （a，b是任意實數）
我們將複數中的實數a稱為複數z的實部（real part）記作Rez=a
實數b稱為複數z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.
當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。
複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。
複數集是無序集，不能建立大小順序。
參考資料：