這是一個很專業也很嚴肅的數學問題，不過普通讀者很容易被誤導而理解錯誤。

1-1+1-1+1…=1/2 （R）

1+2+3+4+…=-1/12 （R）

1²+2²+3²+…=0 （R）

…

稍有數學基礎特別是有微積分知識的人都會被上述公式搞糊塗。這是因為你沒注意等式後面都有一個“（R）”，這並不是常規意義的“求和”，而是一種“抽象和”，即“拉馬努金和”（Ramanujin Summation）。是由著名的印度天才數學家拉馬努金提出來的，代表了發散數列的一種“數學性質”。

上述數列在常規意義下都是發散數列，根據微積分的原理，無法求和。但拉馬努金認為這種數列仍有其意義。

拉馬努金考慮將這些發散數列連續化，從求和式中剔除該連續化函式的積分。這就是拉馬努金和，表示的是離散數列和其連續形式之間的差別。因為剔除了發散的積分部分，所以許多發散數列存在有限的拉馬努金和。

這是一個相當專業的數學領域，在現代理論物理比如弦論裡也有應用。對於普通人來說只需要記住這不是“普通的求和”。

b站上有完整的證明影片，有興趣的朋友可以搜一下。

整個影片實際是用數學開了個玩笑

第一、切薩羅求和法也叫平均收斂，有這種演算法，但不是那麼用的

第二、級數求極限不能隨意改變項的位置和順序

數學分析中級數的求和定義與一般級數不一樣，這是為了解決一些物理問題提出來的，這個結果應用於物理學上的特定場景

答：全體自然數之和等於-1/12，是特殊意義下求和的數學問題，和量子力學間的聯絡目前科學家還沒有徹底弄清楚，有點類似量子場論中的重整化問題。

在看推導過程之前，需要我們忘記一般意義的無窮級數求和規則：

初等證明過程：

令S=1+2+3+4+5+6+……；

S1=1-1+1-1+1-1+……；

1-S1=1-1+1-1+1-1+……=S1；

於是S1=1/2；

再令S2=1-2+3-4+5-6+7-……；

2S2=（1-2+3-4+5-6+7-……）+（0+1-2+3-4+5-6+7-……）；

=1-1+1-1+1-1+……=S1；

於是S2=S1/2=1/4；

S-S2=（1+2+3+4+5+6+……）-（1-2+3-4+5-6+7-……）

=0+4+0+8+0+12+0+……=4（1+2+3+4+5+6+……）=4S

於是S=（-1/3）S2=-1/12；

既是1+2+3+4+5+6+……=-1/12；

該推導過程看似犯了很多無窮級數求和的忌諱，但這一結果在某些地方卻顯示出物理意義；該結果最早由大數學家尤拉發現，並記錄在他的手稿當中。

到了19世紀，數學家黎曼提出大名鼎鼎的黎曼函式，而“全體自然數之和等於-1/12”正是黎曼函式自變數取-1的結果。

二十世紀初，印度數學家拉馬努金定義“拉馬努金和”，根據“拉馬努金和”也可以得出“全體自然數之和等於-1/12”的結論。

在二十世紀末期，弦理論物理學家發現，“全體自然數之和等於-1/12”在研究光子質量為零時起到了關鍵作用，這是首次發現這一數學結果存在物理意義，但是更深層的解釋還未知。

有點類似於量子場論中重整化的技巧一樣，重整化指的是某些量子場論問題的發散結果，剔除無窮大之後留下來的有限值，就是正確的結果。

重整化一度被科學家們認為是“醜陋的理論”，就像把垃圾掃到地毯下邊，表面乾淨無比，實際暗藏缺陷。

所以對於“全體自然數之和等於-1/12”和量子力學聯絡的結果，目前我們外行人只能持觀望態度，沒人說得清其中的本質原因。

艾伯菌認為：發散級數在某些地方存在物理意義，或許暗示著每一個發散級數，都存在一個特徵值，這個特徵值在某些場合顯現出物理意義，倘若我們能制定一套規則，給每個發散級數賦予特徵值，形成一套自洽的數學系統的話，那將是非常美妙的事。

我再舉一個例子，文章開頭我們推匯出：

無窮級數S1=1-1+1-1+1-1+……=1/2；

這一結果，可以根據“阿貝爾和”或者“拉馬努金和”匯出，其中的物理意義也可以從量子力學中找到——薛定諤的貓。

薛定諤的貓：貓活下來為“1”，貓死了為“0”，我們不開啟盒子前，貓處於“生”和“死”的疊加態，就好似“1”和“-1”的無限疊加，我們不知道級數在哪截斷，這就是不開啟盒子前的疊加態，根據我們的求和結果是1/2，物理意義即是生和死的疊加；一旦我們開啟盒子，就隨機截斷了無窮級數，級數前面的求和要麼收斂於“1”，要麼收斂於“0”，對應的就是波函式坍塌。

當然，這一結果只是艾伯菌腦洞大開的想法而已，或許經不起推敲，只希望給大家提供一種理解思路。

俺笨，俺覺得1/12≈0.08，-1/12≈-0.08，1＞-0.08，2＞-0.08……

1+2+……≠-0.08，沒毛病，數學家的世界真不懂。

s1＝1+1-1+1-1……；可得

s1有兩個解:s1＝2；或s1＝1.

那什麼1-s1＝s1，真心不懂。

如果說s1＝1+1-1+1-1……後面無窮盡，用1-s1＝1-（1+1-1+1-1……）

＝1-1-1+1-1+1……

若無窮盡則1-s1＝0，否則等於0或-1

則s1≠1/2。

第一部分：狹義相對論的問題。

可信之一：若測量儀在高速運動，測量讀數是相對測量值，要折換成絕對測量值。

良心警告：相對測量值只是一種參照系效應，純屬數學遊戲的幻覺。

愛因斯坦借用洛倫茲的參照系變換因子：γ=1√(1-v²/c²)，其中的v是作為參照系的測量儀的速度。例如，原子鐘是作為參照系的測量儀。宇宙飛船原子鐘讀數為t"，地球原子鐘讀數t，有如下關係：t"=γt。

設相對於絕對參照系的飛船速度v=0.1c，則其原子鐘時間讀數是：t"=γt=t/√(1-0.1²)=t/0.995=1.005t。比地球原子鐘時間延長5‰。但是這只是參照系效應，絕對的地球原子鐘時間t不會延長。

與此同時，飛船攜帶電子秤測量1kg標準砝碼，其讀數也會增重5‰，這還是參照系效應。當飛船返回地球，依然是絕對的1kg標準砝碼。

那麼，對於測量值，我們是選擇絕對參照系的還是相對參照系的呢？讀者自有答案。

再一舉例。質子是極其穩定的粒子，其質量也是極其穩定的。現在有一臺質子加速器，把質子加速到0.99c，若質子果真能攜帶一個原子鐘，γ=1/√(1-0.99²)=2.27。原子鐘時間讀數t"=γt=2.27t，同時，質量增重到m"=2.27m。

這也是參照系效應，絕對真實的質子並未增重，只不過是它的動能很大而已，一旦這個動能完全發散了，質子就立即恢復到原初狀態。

顯然，所謂的鐘慢尺縮質增效應純屬數學遊戲，我們必須換算到絕對測量值t=t"/γ，我們只需考慮動能增量ΔEk=½m(Δv)²就行，不必大費周折。

可信之二：真空光速不變原理。

這也不是愛因斯坦的發現。真空光速來自麥克斯韋方程組的衍生公式：c=1/√(ε0μ0)，其中，ε0是真空場的介電常數，μ0是真空場的磁導率常數，皆由實驗測得。既然二者是常數，那麼光速c就是不變的常數，這才是真正的光速不變原理。

特別提示：分析c=1/√(ε0μ0)這個公式，光速常數只是真空場的一個固有的特性引數，與電磁輻射或引力輻射毫無關係。

我的設想：根據量子場論的場量子邏輯，真空場含有大量的量子漩渦場(虛粒子)，簡稱漩渦子，它們以光速自旋且無序震盪。

當漩渦子受到電磁振盪的激發，就會像一石激起千層浪一樣，就會相互依次推湧，形成一圈圈的波陣面，這就是電磁波的傳播機制，與機械波的傳播機制，邏輯上完全一致。

試想，一個小小的螢火蟲，以極小的細胞電池為代價就可以發射若有神助的光速，不是漩渦子固有自旋光速在作祟，那又是什麼呢？

最大質疑：質能守恆方程E=mc²。

嚴重後果：質能方程，把質量與能量混為一談，否定質量守恆定律。把動能與質增效應混為一談，否定能量守恆定律。造成物理學與化學上概念混亂。

其一，質能方程在數理邏輯上不自洽。質能方程的推導分兩個階段。第一段是微分部分，引用的動力學公式，是以絕對參照係為基準。第二段的積分部分，是以相對參照系為基準。

最後得出的公式，說有一個絕對參照系下的靜質量m，還有一個相對參照系下的動質量m"。

可是愛因斯坦早已否定絕對時空參照系，出爾反爾，卻又偷用絕對參照系，說同一公式同時適用兩個參照系，這顯然違背同一律。無非是在搞數學遊戲。

其二，光子是不可能靜止的，否則就不是光子。可是有太多的愛氏消費者，大肆鼓吹光子有靜質量m=0。請問，光子的“靜”怎麼靜法，怎麼測量？即使有，那麼動質量m"=γm，而m=0，那麼m"=???，皮之不存毛將焉附？

其三，有人說根據E=hν, E=m"c²，有m"=hν/c²。其中光子的頻率ν千變萬化，即光子的動質量是無法確定的。

請問①：若伽瑪光子頻率是1e23Hz，其動質量m"=6.63e-34×1e23/9e16=7.4e-28kg≈0.44個質子，有這麼重的光子麼？

請問②：若電磁波頻率1e7Hz，其光子動質量m"=7.4e-62kg，有這麼輕的光子麼？

請問④：這些動質量，在理論物理上有何意義？如果廢棄，有何弊端？

其四，結合電動力學c=1/√(ε0μ0)、粒子物理、量子場論，在絕對參照系下，粒子總能量E=自旋角動能+繞旋角動能=引力勢能Ep+震盪動能Ek，即：E=Ep+Ek=mc²+½mv²。其中，

引力勢能與質量m對應，例如，電子勢能Ep=mc²=0.505MeV，與電子質量m=9.1e-31kg，mc²與m是內在對應的，可等效代換。

震盪動能與溫度T對應，可按熱力學原理寫成：mv²=3kT，v是粒子的平均震盪速度。

因為粒子勢能總是常量即質量守恆，因此，能量守恆其實就是動能守恆，即：ΔΣEk=0。

附帶兩句句：①“質量虧損”的說法不成立，在此省略500字。②“自旋非自轉”的說法不成立，過度運用ΔqΔp≥h/4π推出自旋=137c不成立，在此省略500字。

第二部分：廣義相對論的問題。

癥結之一：否定經典動力學的絕對時空參照系，就視同否定萬有引力定律F=GMm/R²，因為這個實驗公式的測量基準是絕對參照系。光速c=1/√(ε0μ0)的測量基準也是絕對參照系。但是在廣義相對論的引力場方程中，卻引用了引力常數G與光速常數c。

癥結之二：廣義相對論引力場方程左邊的純幾何時空張量的動機是主觀臆斷。愛因斯坦借用馬赫原理：牛頓的絕對時空不存在，物體周圍的時空是受宇宙所有天體引力的綜合作用。愛因斯坦把這樣的“馬赫時空”設想為“彎曲時空”，這個彎曲時空的張量場R()項，與物體的能量動量張量場T()項，相互抗衡。

馬赫原理是違揹物理思維的。以“地球系+太陽系+銀河系”三體問題為例。當我們在研究地球系統內的一個物體m的動力學狀態時只需考慮地球對m的作用，不必考慮太陽系而更不必考慮銀河系對m的作用，系統外的影響微乎其微，根本不值一提。馬赫竟然扯到全宇宙，絕對不可能測量，更不可思議。

癥結之三：與此同時，最致命的是，他否定宇宙真空場張量Λg()項，這與他堅信邁克爾遜莫雷實驗否定以太而光的傳播無需介質的理念一脈相承。量子場論已證明宇宙真空場有零點能，卡西米爾效應已證明機械震盪可使真空場產生電磁波。

癥結之四：愛因斯坦也是人，他未必正確領會到“參照系與存在性無關”的本質。不管選擇絕對參照系，還是選擇相對參照系，都要依據作為參照系的測量儀所在位置與運動狀態。因此，參照系純屬測量技術基準問題，與時空的絕對存在或相對存在毫無關係。站在不同的參照系，會有等效表述的不同的測量值。

但是，只有絕對參照系是唯一簡潔的，其座標原點是(0,0,0,0)，而相對參照系有無數個，其座標原點是(x/t,y/t,z/t,t)，若座標系是彎曲的，將非常複雜而無法求解，而且最終還得迴歸到絕對參照系。因此，絕對參照系是參照系的參照系，是絕對智慧的參照系。

牛頓的動力學體系，迄今百試不爽，我替牛頓與麥克斯韋鳴不平。愛因斯坦早已作古，把理論物理搞得烏煙瘴氣，錯不在他，而在後人為了某種私利或不求甚解，拉大旗作虎皮，過度消費了他。

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