哥德爾是奧地利裔美國著名數學家，不完備性定理是他在1931年提出來的。這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。該定理與塔爾斯基的形式語言的真理論，圖靈機和判定問題，被讚譽為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。哥德爾證明了任何一個形式系統，只要包括了簡單的初等數論描述，而且是自洽的，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明真也不能證偽的命題。

第一定理

任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。

第二定理

如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。

20世紀20年代，在集合論不斷髮展的基礎上，大數學家希爾伯特向全世界的數學家丟擲了個宏偉計劃，其大意是建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統匯出矛盾）。

值得指出的是，希爾伯特所說的公理不是我們通常認為的公理，而是經過了徹底的形式化。他們存在於一門叫做元數學的分支中。元數學與一般數學理論的關係有點像計算機中應用程式和普通檔案的關係。

希爾伯特的計劃也確實有一定的進展，幾乎全世界的數學家都樂觀地看著數學大廈即將竣工。正當一切都越來越明朗之際，突然一聲晴天霹靂。1931年，在希爾伯特提出計劃不到3年，年輕的哥德爾就使希爾伯特的夢想變成了令人沮喪的噩夢。哥德爾證明：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。

哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數學家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。某種意義上，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎大數學家外爾發出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”

但是哥德爾不完全性定理的影響遠遠超出了數學的範圍。它不僅使數學、邏輯學發生革命性的變化，引發了許多富有挑戰性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。2002年8月17日，著名宇宙學家霍金在北京舉行的國際弦理論會議上發表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認為建立一個單一的描述宇宙的大統一理論是不太可能的，這一推測也正是基於哥德爾不完全性定理。

有意思的是，在現今十分熱門的人工智慧領域，哥德爾不完全性定理是否適用也成為了人們議論的焦點。1961年，牛津大學的哲學家盧卡斯提出，根據哥德爾不完全性定理，機器不可能具有人的心智。他的觀點激起了很多人反對。他們認為，哥德爾不完全性定理與機器有無心智其實沒有關係，但哥德爾不完全性定理對人的限制，同樣也適用於機器倒是事實。

哥德爾不完全性定理的影響如此之廣泛，難怪哥德爾會被看作當代最有影響力的智慧巨人之一，受到人們的永恆懷念。美國《時代》雜誌曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數學家中，排在第一的就是哥德爾。

我曾經因為哥德爾而寫過一個哲理短篇。分享給大家。

我給你答案

——靈遁者

你如何證明自己是個男人？你如何證明自己是個女人？這個乍一聽，是個很傻的提問。但很多很傻的問題，引出了很多不可思議的的理論。

正如牛頓問：“蘋果為什麼是向下落的？”愛因斯坦問：“如果我能以光速運動，看待周圍的事物，會發生什麼呢？”魏格納躺在床上問：“世界地圖的輪廓怎麼那麼相像？”

所以當一個人在生活中提出了一個看似很傻的問題，請大家不要噴，對他要寬容。

你如何證明自己是個男人或者女人？是個邏輯問題。倘若世界上只有男人，你如果證明自己就是男人。

偉大的數學家哥德爾給出了答案。男人要想證明自己是男人，不能從男人本身【本身這個系統】來證明，是從女人出發。

今天我想跟大家聊聊哥德爾。美國《時代》雜誌曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數學家中，排在第一的不是別人，就是哥德爾！

哥德爾以其驚人的才智，提出了哥德爾不完備性定理。而哥德爾不完備性定理的影響遠遠超出了數學的範圍。它不僅使數學、邏輯學發生革命性的變化，引發了許多富有挑戰性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。

哥德爾定律的基本表述為：第一不完備性定理

任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。

第二不完備性定理

如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。

就是這樣簡單的語句，它的威力卻讓很多數學家嘆息。哥德爾讓大數學家希伯特的“公理完備性”計劃徹底流產。悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎大數學家外爾發出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”

可能看到這裡，不熟悉的人，並沒有意識到哥德爾不完備性定理的魅力。

吃瓜群眾的困惑，和當年羅素的困惑是一樣的。比如有這樣一句話，讓你判斷真假。“我的這句話是假的。” 你會怎麼判斷？ 這就是說謊者悖論。提出者是西元前6世紀克里特哲學家埃庇米尼得斯。

即使過了幾千年，這句話依然困擾者很多智者。羅素就是其中一位。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》裡說道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”

我們的問題是：“理髮師應該給自己刮臉嗎？”“包含一切集合的集合存在嗎？”這些看似奇怪的問題，折磨了我們幾千年。

直到哥德爾出現，問題才有了答案。答案是——不能證明！也就是說包含一切集合的集合的存在證明，不能給出！ 但哥德爾證明了，不能給出！

很多時候，我們遇到問題，總會歇斯底里道：“到底能不能，你給我答案！你證明給我看！”現在我們終於可以長長的出一口氣，讓自己放鬆下來。

而且非常巧合。我查詢他們出生的日期。羅素比他的學生維特根斯坦大17歲。而維特根斯坦又比哥德爾大17歲。

我之所以將兩個人聯絡起來，是因為維特根斯坦有句非常著名的名言：“對於可說的，我們說。對於不可說的，我們要保持沉默。”

其潛在的邏輯是——有些問題是可以證明的，有些是不可以證明。在維特根斯坦的《邏輯哲學論》中，尤其提到倫理問題是我們應該保持沉默的。

維特根斯坦這句名言，在我看來甚至可以稱之為：“維特根斯坦定理。” 那麼何謂沉默？什麼時候應該沉默？

維特根斯坦認為當物件是無法言說之物時應保持沉默。比如一個簡短的哲學理論，雖然只有短短几個字，但即使用成千上萬的字去解釋它，也難以把它說個透徹和明晰。

因為往往在這個時候，人們心裡雖然對它有個瞭解，但無從尋找合適的字眼去把這個理論解釋到自己心中所想的程度，才導致沒有辦法把這個理論清楚地解釋出來。如談論人生和理想這類的事物，即使口若懸河，也難以說個明白、道個清楚。每個人的思想各異，導致不同的人對事物的理解也不盡相同，因此對“人生”或者“理想”的暢談也將各式各樣，沒有一個準確、統一、清楚的答案。 這就是為什麼，遇到倫理問題，維特根斯坦總是閉口不言。

不知道大家意識到沒有，維特根斯坦的這種表述和哥德爾定理暗合，一點也不排斥。所以我覺得兩個偉大的人在這個問題上是“心有靈犀。”

從哥德爾提出哥德爾不完備性定理，再往前推幾年，還有海森堡提出的“海森堡不確定性原理。”該原理指出在描述微觀粒子運動時候，我們無法同時得到粒子的準確位置和速度。

“海森堡不確定性原理”和“波爾互補原理”構建了量子力學的基本支柱。細細思考，這兩大定理與哥德爾定理，也無衝突。對於哲學來說，也深有啟發。

總體來說就是——我們不能確定很多東西，但很多東西在整體上又是一致性的，可以理解的。

我不知道我說的夠不夠直白。我也是文科生，我也不懂那些繁複的數學公式。但我一直對物理，哲學等有興趣。曾經最大的夢想，還是做一位科學家。現在想想，也不覺得可笑。人生，有好奇不是挺好的嗎？

我的好奇，你們肯定也有過。人活著是為了什麼？幸福是什麼？孤獨是什麼？自由是什麼？我繞了這麼大一個圈子，就是告訴你，在生活中對於一些事情我們能說的清，而還有一些事情，我們應該保持沉默。

當然我也在詩歌中寫過：“堅持自己不是一句話，是血淋淋的戰鬥。” 總之你還是要做你王國裡的國王。

現在是一個資訊氾濫的社會。你寫什麼都會有人罵你。比如我根據王寶強離婚新聞，寫了一篇《婚姻不易，且行且珍惜》的文章。結果被罵是馬蓉的槍手等等。後來我發了一篇之前寫的科普作品《引力量子化》，這樣的文章竟然也被罵了。說我不自量力，一個搞玄學的人，敢談科學。

我其實想說，正是因為對人生的好奇，我才看這麼多書。而看了這些書之後，從哲人們那裡，我得到了我想要的答案。

這些答案，本就不屬於我。大家就在網路上可以找到。但資訊氾濫時代，你不一定檢索到你想要的答案。我希望，我給你的是你想要的。我肯定還有很多問題不知道的答案，如果你知道，也希望你告訴我們。

現在請長長的舒一口氣，放鬆下來。人生的答案其實都有了。

2016年12月4日晚。

摘自獨立學者，靈遁者哲理散文。

我在這裡不想說它的表層內涵，我只想說說它的引申：對於任何系統，若令其完備且體系無矛盾，則只需引入一個開放子集即可。例如整個宇宙系統的無矛盾性是建立在人類的開放體系之上，而這種唯一最為恰當最好的表述了人類在宇宙體系當中的真實地位。

哥德爾定理是數理邏輯裡一個劃時代的，無比重要的定理。

不過如果你不是相關領域，其實沒必要深究… 這個比較燒腦，也不能幫助你買菜，或改善房價…

長期以來，數學家都預設的相信“邏輯”的完美性。比如相信，在一個邏輯系統裡，只要有足夠的和合理的初始條件，我們就可以相信該系統內任何一個邏輯表示式都是可以被判定真偽的。

當然，我們不一定能輕易找到那個邏輯判定的過程，但數學家們確信那個過程是存在的，任何一個表示式，都存在這樣一個邏輯推理過程，最後知道她是真還是偽。

這種數學家們對“邏輯學”的信任，就是所謂的“完備性”。

數學界對邏輯學的信任危機，始於康托爾的集合論。集合論迅速滋生了一系列的悖論，令數學家們恨的咬牙切齒又無可奈何。其中最出名的一個，來自於大邏輯學家羅素（沒錯，就是那個獲得諾貝爾文學獎的數學家）：

“村裡的理髮師給所有且只給本村那些不給自己理髮的人理髮。”

顯然，理髮師給不給自己理髮成了一個悖論。

其實這個悖論還可以有一個更加簡潔，更加抽象，更富於哲學性的等價表述：

“這句話是錯的。”

在數學界試圖解決這些令人討厭的bug時，哥德爾敏銳的意識到：這其實不是bug，是必然。

哥德爾在那篇著名的論文裡指出：任何一個足夠強大（這個後面解釋）的邏輯系統，都必然能找到一個表示式，不存在上述數學家們認為的那一個推理過程，也就是說，我們既不可能判定該表示式為真，也不可能判定她為偽！

換句話說，只要一個邏輯系統是嚴謹的，就不可能是完備的。

哥德爾這篇論文據說寫了200多頁，不過其實真正的證明思路並不特別複雜，可能半頁紙就能說完。但他需要非常詳細和嚴謹的邏輯語言，來證明邏輯本身的缺陷。

哥德爾定理的證明思路，簡單說就是就是在任意給定的一個邏輯系統裡，構造出一個“這句話是錯的”式的命題。

熟悉集合論的朋友立刻可以想到，那當然要運用康托爾大神那神出鬼沒的“對角線方法”啦！

哥德爾首先把該邏輯系統內的所有命題對映成一個自然數（哥德爾數），接著構造了一個哥德爾數到哥德爾數的對映（本身是個命題，也是一個哥德爾數），透過一系列康托爾門徒樂此不疲的騷操作，成功構造出一個把自己搞死的悖論命題：我是錯的！

需要指出，哥德爾定理的證明用到了自然數，所以該定理有個前提條件：足夠強大的邏輯系統，這裡指的就是說必須強大到可以覆蓋整個自然數理論。

非常意外的，我們熟悉的歐幾里得平面幾何，是個非常“弱”的系統，她不包含自然數理論。所以，我們不能簡單運用哥德爾定理去說：存在一道幾何題，我們無法證明其對或錯。

哥德爾定理的一個重要的，令人吃驚的應用，是著名的“連續統猜想”：

“康托爾的集合論證明了自然數無窮＜實數無窮，那麼是否存在介於兩者之間的無窮？”

這是希爾伯特著名的23個世紀問題之首，雖然看起來很難，但存在，或不存在這樣一箇中間勢的無窮，總應該是有一個明確答案的吧？

然而，哥德爾，夥同另一位數學家科恩，運用“哥德爾定理”這把兇器，殘忍的證明了：這個猜想本身就是那句經典的“我錯了”，既不存在一個證明過程可證明該猜想正確，也不存在一個證明過程可證明該猜想錯誤！

兩位數學大師的思路，就是先構造一個邏輯系統，假定該猜想正確（存在中間勢無窮），證明該系統自洽（無矛盾）。然後修改這個系統，假定該猜想錯誤（不存在中間勢無窮），又證明該系統依然自洽（無矛盾）。因此，絕不可能存在這樣一個邏輯推理過程，可以證真，或證偽該猜想。

最後，如果您不幸堅持看完了的話，我需要指出，在我本人當年看懂理解了哥德爾定理之後，確實成功買到了一個大house，然後，跌了。