來自 UC Berkeley RISELab 的本科研究員 Noah Golmant 發表部落格，從理論的角度分析了損失函式的結構，並據此解釋隨機梯度下降（SGD）中的噪聲如何幫助避免區域性極小值和鞍點，為設計和改良深度學習架構提供了很有用的參考視角。
當我們著手訓練一個很酷的機器學習模型時，最常用的方法是隨機梯度下降法（SGD）。隨機梯度下降在高度非凸的損失表面上遠遠超越了樸素梯度下降法。這種簡單的爬山法技術已經主導了現代的非凸最佳化。然而，假的區域性最小值和鞍點的存在使得分析工作更加複雜。理解當去除經典的凸性假設時，我們關於隨機梯度下降（SGD）動態的直覺會怎樣變化是十分關鍵的。向非凸環境的轉變催生了對於像動態系統理論、隨機微分方程等框架的使用，這為在最佳化解空間中考慮長期動態和短期隨機性提供了模型。
mini-batch 噪聲的協方差結構
介紹一下我們的問題設定背景。假設我想要最小化一個包含 N 個樣本的有限資料集上的損失函式 f:R^n→R。對於引數 x∈R^n，我們稱第 i 個樣本上的損失為 f_i(x)。現在，N 很可能是個很大的數，因此，我們將透過一個小批次估計（mini-batch estimate）g_B： 來估計資料集的梯度 g_N：。其中，B⊆{1,2,…,N} 是一個大小為 m 的 mini-batch。儘管 g_N 本身就是一個關於梯度 ∇f(x) 的帶噪聲估計，結果表明，mini-batch 抽樣可以生成帶有有趣的協方差結構的估計。
引理 1 (Chaudhari & Soatto 定理：https://arxiv.org/abs/1710.11029)：在回置抽樣（有放回的抽樣）中，大小為 m 的 mini-batch 的方差等於 Var(g_B)=1/mD(x)，其中
該結果意味著什麼呢？在許多最佳化問題中，我們根本的目標是最大化一些引數配置的似然。因此，我們的損失是一個負對數似然。對於分類問題來說，這就是一個交叉熵。在這個例子中，第一項 是對於（負）對數似然的梯度的協方差的估計。這就是觀測到的 Fisher 資訊。當 N 趨近於正無窮時，它就趨向於一個 Fisher 資訊矩陣，即相對熵（KL 散度）的 Hessian 矩陣。但是 KL 散度是一個與我們想要最小化的交叉熵損失（負對數似然）相差甚遠的常數因子。
因此，mini-batch 噪聲的協方差與我們損失的 Hessian 矩陣漸進相關。事實上，當 x 接近一個區域性最小值時，協方差就趨向於 Hessian 的縮放版本。
繞道 Fisher 資訊
在我們繼續詳細的隨機梯度下降分析之前，讓我們花點時間考慮 Fisher 資訊矩陣 I(x) 和 Hessian 矩陣 ∇^2f(x) 之間的關係。I(x) 是對數似然梯度的方差。方差與損失表面的曲率有什麼關係呢？假設我們處在一個嚴格函式 f 的區域性最小值，換句話說，I(x∗)=∇^2f(x∗) 是正定的。I(x) 引入了一個 x∗附近的被稱為「Fisher-Rao metric」的度量指標： d(x,y)=√[(x−y)^TI(x∗)(x−y) ]。有趣的是，引數的 Fisher-Rao 範數提供了泛化誤差的上界（https://arxiv.org/abs/1711.01530）。這意味著我們可以對平坦極小值的泛化能力更有信心。
回到這個故事中來
接下來我們介紹一些關於隨機梯度下降動態的有趣猜想。讓我們做一個類似中心極限定理的假設，並且假設我們可以將估計出的 g_B 分解成「真實」的資料集梯度和噪聲項：g_B=g_N+(1√B)n(x)，其中 n(x)∼N(0,D(x))。此外，為了簡單起見，假設我們已經接近了極小值，因此 D(x)≈∇^2f(x)。n(x) 在指數引數中有一個二次形式的密度ρ(z)：
這表明，Hessian 矩陣的特徵值在決定被隨機梯度下降認為是「穩定」的最小值時起重要的作用。當損失處在一個非常「尖銳」（二階導很大）的最小值，並且此處有許多絕對值大的、正的特徵值時，我很可能會加入一些把損失從樸素梯度下降的吸引域中「推出來」的噪聲。類似地，對於平坦極小值，損失更有可能「穩定下來」。我們可以用下面的技巧做到這一點：
引理 2：令 v∈R^n 為一個均值為 0 並且協方差為 D 的隨機向量。那麼，E[||v||^2]=Tr(D)。
透過使用這一條引理以及馬爾可夫不等式，我們可以看到，當 Hessian 具有大麴率時，更大擾動的可能性越高。我們還可以考慮一個在區域性最小值 x∗ 周圍的「穩定半徑」：對於給定的 ϵ∈(0,1)，存在一些 r(x∗)>0，使得如果我們的起點 x_0 滿足 ||x_0−x∗||<r(x∗)，第 t 次迭代滿足 ||x_t−x∗||<r（對於所有的 t≥0）的機率至少為 1−ϵ。在這種情況下，我們可以說 x∗ 是在半徑 r(x∗) 內隨機穩定的。將這種穩定性的概念與我們之前的非正式論證結合起來，我們得到以下結論：
定理 1: 一個嚴格的區域性最小值 x∗ 的穩定性半徑 r(x∗) 與 ∇^2f(x∗) 的譜半徑成反比。
讓我們把這個結論和我們所知道的 Fisher 資訊結合起來。如果在隨機梯度下降的動態下，平坦極小值更加穩定，這就意味著隨機梯度下降隱式地提供了一種正則化的形式。它透過注入各項異性的噪聲使我們擺脫了 Fisher-Rao 範數所帶來的不利泛化條件。
深度學習的啟示：Hessian 矩陣的退化和「wide valleys」
在深度學習中，一個有趣的現象是過度引數化。我們經常有比做示例運算時更多的引數（d>>N）。這時，D(x) 是高度退化的，即它有許多零（或者接近零）的特徵值。這意味著損失函式在很多方向上都是區域性不變的。這為這些網路描繪了一個有趣的最佳化解空間中的場景：隨機梯度下降大部分時間都在穿越很寬的「峽谷」（wide valleys）。噪聲沿著幾個有大麴率的方向傳播，這抵消了 g_N 朝著這個「峽谷」的底部（損失表面的最小值）推進的趨勢。
當前關注點：批次大小、學習率、泛化效能下降
由於我們在將 n(x) 加到梯度之前，按照 1/√m 的因子將其進行縮放，因此增加了批處理的規模，降低了小批次估計的整體方差。這是一個值得解決的問題，因為大的批次尺寸可以使模型訓練得更快。它在兩個重要的方面使得訓練更快：訓練誤差在更少的梯度更新中易於收斂，並且大的批次尺寸使得我們能利用大規模資料並行的優勢。但是，不使用任何技巧就增大批次尺寸會導致測試誤差增大。這個現象被稱為泛化能力下降（generalization gap），並且目前還存在一些為什麼會出現這種情況的假說。一個流行的解釋是，我們的「探索性噪聲」不再有足夠的力量將我們推出一個尖銳最小值的吸引域。一種解決辦法是簡單地提高學習率，以增加這種噪聲的貢獻。這種縮放規則非常成功（https://arxiv.org/abs/1706.02677）。
長期關注點：逃離鞍點
雖然泛化能力下降「generalization gap」最近已經成為了一個熱門話題，但之前仍有很多工作研究鞍點的影響。雖然不會漸進收斂到鞍點（http://noahgolmant.com/avoiding-saddle-points.html），我們仍然可能附近停留相當長的一段時間（https://arxiv.org/abs/1705.10412）。而且儘管大的批次尺寸似乎會更易於產生更尖銳的最小值，但真正大的批次尺寸會將我們引導到確定的軌跡上，這個軌跡被固定在鞍點附近。一項研究（https://arxiv.org/abs/1503.02101）表明，注入足夠大的各項同性噪聲可以幫助我們逃離鞍點。我敢打賭，如果噪聲有足夠的「放大」能力，小批次的隨機梯度下降（mini-batch SGD）會在造成訓練困難的維度上提供足夠的噪聲，並且幫助我們逃離它們。
一旦我們解決了「尖銳的最小值」的問題，鞍點可能是下一個大規模最佳化的主要障礙。例如，我在 CIFAR-10 資料集上用普通的隨機梯度下降演算法訓練了 ResNet34。當我將批次尺寸增大到 4096 時，泛化能力下降的現象出現了。在這一點之後（我最高測試了大小為 32K 的批次尺寸，有 50K 個訓練樣本），效能顯著降低：訓練誤差和測試誤差都僅僅在少數幾個 epoch 中比較平穩，並且網路無法收斂到一個有效解上。以下是這些結果的初步學習曲線（即看起來比較醜、還有待改進）：
進一步的工作
目前提出的大多數處理尖銳的最小值/鞍點的解決方案都是圍繞（a）注入各向同性噪聲，或（b）保持特定的「學習率和批次尺寸」。我認為從長遠來看，這還不夠。各向同性噪聲在包含「wide valley」結構的解空間中做的並不好。增加學習率也增大了對梯度的更新，這使得權重更新得更大。我認為正確的方法應該是想出一種有效的方法來模擬小批次噪聲的各向異性，這種方法從學習率和批處理大小的組合中「解耦」出來。存在能夠使用子取樣梯度資訊和 Hessian 向量乘積去做到這一點的方法，我正在進行這個實驗。我很希望聽聽其它的關於如何解決這個問題的想法。與此同時，我們還需要做大量的理論工作來更詳細地理解這種動態，特別是在一個深度學習環境中。
來自 UC Berkeley RISELab 的本科研究員 Noah Golmant 發表部落格，從理論的角度分析了損失函式的結構，並據此解釋隨機梯度下降（SGD）中的噪聲如何幫助避免區域性極小值和鞍點，為設計和改良深度學習架構提供了很有用的參考視角。
當我們著手訓練一個很酷的機器學習模型時，最常用的方法是隨機梯度下降法（SGD）。隨機梯度下降在高度非凸的損失表面上遠遠超越了樸素梯度下降法。這種簡單的爬山法技術已經主導了現代的非凸最佳化。然而，假的區域性最小值和鞍點的存在使得分析工作更加複雜。理解當去除經典的凸性假設時，我們關於隨機梯度下降（SGD）動態的直覺會怎樣變化是十分關鍵的。向非凸環境的轉變催生了對於像動態系統理論、隨機微分方程等框架的使用，這為在最佳化解空間中考慮長期動態和短期隨機性提供了模型。
mini-batch 噪聲的協方差結構
介紹一下我們的問題設定背景。假設我想要最小化一個包含 N 個樣本的有限資料集上的損失函式 f:R^n→R。對於引數 x∈R^n，我們稱第 i 個樣本上的損失為 f_i(x)。現在，N 很可能是個很大的數，因此，我們將透過一個小批次估計（mini-batch estimate）g_B： 來估計資料集的梯度 g_N：。其中，B⊆{1,2,…,N} 是一個大小為 m 的 mini-batch。儘管 g_N 本身就是一個關於梯度 ∇f(x) 的帶噪聲估計，結果表明，mini-batch 抽樣可以生成帶有有趣的協方差結構的估計。
引理 1 (Chaudhari & Soatto 定理：https://arxiv.org/abs/1710.11029)：在回置抽樣（有放回的抽樣）中，大小為 m 的 mini-batch 的方差等於 Var(g_B)=1/mD(x)，其中
該結果意味著什麼呢？在許多最佳化問題中，我們根本的目標是最大化一些引數配置的似然。因此，我們的損失是一個負對數似然。對於分類問題來說，這就是一個交叉熵。在這個例子中，第一項 是對於（負）對數似然的梯度的協方差的估計。這就是觀測到的 Fisher 資訊。當 N 趨近於正無窮時，它就趨向於一個 Fisher 資訊矩陣，即相對熵（KL 散度）的 Hessian 矩陣。但是 KL 散度是一個與我們想要最小化的交叉熵損失（負對數似然）相差甚遠的常數因子。
因此，mini-batch 噪聲的協方差與我們損失的 Hessian 矩陣漸進相關。事實上，當 x 接近一個區域性最小值時，協方差就趨向於 Hessian 的縮放版本。
繞道 Fisher 資訊
在我們繼續詳細的隨機梯度下降分析之前，讓我們花點時間考慮 Fisher 資訊矩陣 I(x) 和 Hessian 矩陣 ∇^2f(x) 之間的關係。I(x) 是對數似然梯度的方差。方差與損失表面的曲率有什麼關係呢？假設我們處在一個嚴格函式 f 的區域性最小值，換句話說，I(x∗)=∇^2f(x∗) 是正定的。I(x) 引入了一個 x∗附近的被稱為「Fisher-Rao metric」的度量指標： d(x,y)=√[(x−y)^TI(x∗)(x−y) ]。有趣的是，引數的 Fisher-Rao 範數提供了泛化誤差的上界（https://arxiv.org/abs/1711.01530）。這意味著我們可以對平坦極小值的泛化能力更有信心。
回到這個故事中來
接下來我們介紹一些關於隨機梯度下降動態的有趣猜想。讓我們做一個類似中心極限定理的假設，並且假設我們可以將估計出的 g_B 分解成「真實」的資料集梯度和噪聲項：g_B=g_N+(1√B)n(x)，其中 n(x)∼N(0,D(x))。此外，為了簡單起見，假設我們已經接近了極小值，因此 D(x)≈∇^2f(x)。n(x) 在指數引數中有一個二次形式的密度ρ(z)：
這表明，Hessian 矩陣的特徵值在決定被隨機梯度下降認為是「穩定」的最小值時起重要的作用。當損失處在一個非常「尖銳」（二階導很大）的最小值，並且此處有許多絕對值大的、正的特徵值時，我很可能會加入一些把損失從樸素梯度下降的吸引域中「推出來」的噪聲。類似地，對於平坦極小值，損失更有可能「穩定下來」。我們可以用下面的技巧做到這一點：
引理 2：令 v∈R^n 為一個均值為 0 並且協方差為 D 的隨機向量。那麼，E[||v||^2]=Tr(D)。
透過使用這一條引理以及馬爾可夫不等式，我們可以看到，當 Hessian 具有大麴率時，更大擾動的可能性越高。我們還可以考慮一個在區域性最小值 x∗ 周圍的「穩定半徑」：對於給定的 ϵ∈(0,1)，存在一些 r(x∗)>0，使得如果我們的起點 x_0 滿足 ||x_0−x∗||<r(x∗)，第 t 次迭代滿足 ||x_t−x∗||<r（對於所有的 t≥0）的機率至少為 1−ϵ。在這種情況下，我們可以說 x∗ 是在半徑 r(x∗) 內隨機穩定的。將這種穩定性的概念與我們之前的非正式論證結合起來，我們得到以下結論：
定理 1: 一個嚴格的區域性最小值 x∗ 的穩定性半徑 r(x∗) 與 ∇^2f(x∗) 的譜半徑成反比。
讓我們把這個結論和我們所知道的 Fisher 資訊結合起來。如果在隨機梯度下降的動態下，平坦極小值更加穩定，這就意味著隨機梯度下降隱式地提供了一種正則化的形式。它透過注入各項異性的噪聲使我們擺脫了 Fisher-Rao 範數所帶來的不利泛化條件。
深度學習的啟示：Hessian 矩陣的退化和「wide valleys」
在深度學習中，一個有趣的現象是過度引數化。我們經常有比做示例運算時更多的引數（d>>N）。這時，D(x) 是高度退化的，即它有許多零（或者接近零）的特徵值。這意味著損失函式在很多方向上都是區域性不變的。這為這些網路描繪了一個有趣的最佳化解空間中的場景：隨機梯度下降大部分時間都在穿越很寬的「峽谷」（wide valleys）。噪聲沿著幾個有大麴率的方向傳播，這抵消了 g_N 朝著這個「峽谷」的底部（損失表面的最小值）推進的趨勢。
當前關注點：批次大小、學習率、泛化效能下降
由於我們在將 n(x) 加到梯度之前，按照 1/√m 的因子將其進行縮放，因此增加了批處理的規模，降低了小批次估計的整體方差。這是一個值得解決的問題，因為大的批次尺寸可以使模型訓練得更快。它在兩個重要的方面使得訓練更快：訓練誤差在更少的梯度更新中易於收斂，並且大的批次尺寸使得我們能利用大規模資料並行的優勢。但是，不使用任何技巧就增大批次尺寸會導致測試誤差增大。這個現象被稱為泛化能力下降（generalization gap），並且目前還存在一些為什麼會出現這種情況的假說。一個流行的解釋是，我們的「探索性噪聲」不再有足夠的力量將我們推出一個尖銳最小值的吸引域。一種解決辦法是簡單地提高學習率，以增加這種噪聲的貢獻。這種縮放規則非常成功（https://arxiv.org/abs/1706.02677）。
長期關注點：逃離鞍點
雖然泛化能力下降「generalization gap」最近已經成為了一個熱門話題，但之前仍有很多工作研究鞍點的影響。雖然不會漸進收斂到鞍點（http://noahgolmant.com/avoiding-saddle-points.html），我們仍然可能附近停留相當長的一段時間（https://arxiv.org/abs/1705.10412）。而且儘管大的批次尺寸似乎會更易於產生更尖銳的最小值，但真正大的批次尺寸會將我們引導到確定的軌跡上，這個軌跡被固定在鞍點附近。一項研究（https://arxiv.org/abs/1503.02101）表明，注入足夠大的各項同性噪聲可以幫助我們逃離鞍點。我敢打賭，如果噪聲有足夠的「放大」能力，小批次的隨機梯度下降（mini-batch SGD）會在造成訓練困難的維度上提供足夠的噪聲，並且幫助我們逃離它們。
一旦我們解決了「尖銳的最小值」的問題，鞍點可能是下一個大規模最佳化的主要障礙。例如，我在 CIFAR-10 資料集上用普通的隨機梯度下降演算法訓練了 ResNet34。當我將批次尺寸增大到 4096 時，泛化能力下降的現象出現了。在這一點之後（我最高測試了大小為 32K 的批次尺寸，有 50K 個訓練樣本），效能顯著降低：訓練誤差和測試誤差都僅僅在少數幾個 epoch 中比較平穩，並且網路無法收斂到一個有效解上。以下是這些結果的初步學習曲線（即看起來比較醜、還有待改進）：
進一步的工作
目前提出的大多數處理尖銳的最小值/鞍點的解決方案都是圍繞（a）注入各向同性噪聲，或（b）保持特定的「學習率和批次尺寸」。我認為從長遠來看，這還不夠。各向同性噪聲在包含「wide valley」結構的解空間中做的並不好。增加學習率也增大了對梯度的更新，這使得權重更新得更大。我認為正確的方法應該是想出一種有效的方法來模擬小批次噪聲的各向異性，這種方法從學習率和批處理大小的組合中「解耦」出來。存在能夠使用子取樣梯度資訊和 Hessian 向量乘積去做到這一點的方法，我正在進行這個實驗。我很希望聽聽其它的關於如何解決這個問題的想法。與此同時，我們還需要做大量的理論工作來更詳細地理解這種動態，特別是在一個深度學習環境中。