事件 與事件 獨立的定義是： 。

事件 與事件 互斥的定義是：集合 與集合 沒有相同的樣本點，即 。（ 代表空集， 也可以簡記為 ）

如果事件 或事件 發生的機率都不為0，那麼獨立和互斥有這樣一層關係：互斥不獨立，獨立不互斥。

證明：若 互斥，則 ，那麼 ，而 ，因此 ，即 不獨立。

另一方面，若 獨立，則有 。接下來用反證法：假設互斥，則 ，那麼 ，而 ，則 ，產生矛盾。因此若 獨立，則 不互斥。

“互斥不獨立，獨立不互斥”是在事件 與事件 發生的機率都不為0的情況下才有的結論。一般情況下這個結論不成立。

接下來我要強調一個概念：零機率事件與不可能事件是不同的。不可能事件的定義是：若 ，則 是不可能事件；零機率事件的定義是：若 ，則 是零機率事件。咋一看，兩個定義好像沒有什麼區別。的確，在離散情況下，兩者是等價的。但是在連續場合，零機率事件是有可能發生的。比如 服從（0,1）上的均勻分佈，那麼事件{ }發生的機率為0，因為連續型隨機變數取一個點的機率為0。但是事件{ }是有可能發生的。不可能事件是比零機率事件更強的定義。因此若 ，無法推出 是空集。

類似地，1機率事件與必然事件是不同的。1機率事件是指發生機率為1的事件，但是它比“必然事件”更弱些。仍然舉上面的例子：事件{ }發生的機率為1，但是它不是必然事件，因為事件{ }仍然有可能發生。

於是有如下結論：零機率事件與任何事件獨立；1機率事件與任何事件獨立。我在這裡只證明“零機率事件與任何事件獨立”：設 ，那麼對於任何事件 ，有 ，那麼 ，得到 。於是有 ，即 獨立。類似地，“1機率事件與任何事件獨立”留給讀者自己證明。

我們已經知道，零機率事件與任何事件獨立，1機率事件與任何事件獨立。那麼有沒有什麼事件與任何事件互斥呢？答案是：不可能事件與任何事件互斥。證明很簡單：設 是不可能事件，則 ，對於任何事件 ，有 ，於是 互斥。

最後來一個終極問題：有沒有什麼事件與任何事件既獨立又互斥呢？答案是：不可能事件與任何事件既獨立又互斥！證明很簡單：首先，不可能事件與任何事件互斥，這在上一段已經證明；又因為不可能事件一定是零機率事件，而零機率事件與任何事件獨立。所以不可能事件與任何事件既獨立又互斥。