動能是機械能的一種，按照現在的科學知識，動能公式的獲得非常簡單，只要知道牛頓第二定律和功能轉換原理，再利用一個簡單的情形，就可以很方便的推匯出來。比如：

但從歷史的角度看，對動能的認識卻有一個曲折複雜的過程。牛頓並沒有使用過動能的概念，他主要使用了笛卡爾所提出的動量概念，即物體質量與速度的乘積，以此來度量作用力的時間作用效果（比如在碰撞過程中）。與牛頓同時代的德國科學家萊布尼茲不贊同動量概念，並認為動量是“死力”，主張使用一種他稱為“活力”（vis viva）的概念取代之。而他所謂的“活力”，就是物體質量與速度平方的乘積。這兩種主張都有人支援，並且雙方還曾展開了激烈的爭論，各執己見、互不相讓。直到十八世紀中期，法國科學家達朗貝爾證明兩者之間其實並無真正衝突，都是度量運動的合理概念，不過是一個銅板的兩個面而已。至此，爭論才算結束，萊布尼茲的“活力”概念獲得了廣泛的認可。

但“活力”到底是個什麼力，與牛頓的作用力之間到底有什麼關係，當時的物理學界其實並不很清楚。真正要解決此問題，還得等到十九世紀初英國科學家托馬斯·楊引進“能量”概念，和法國科學家科里奧利引進“功”的概念，並將功和能相互關聯之後，才使問題最後塵埃落定。科里奧利將活力即動能，看成是作用力對物體在空間中作用的累積，即作用力做功的結果，由此提出以下的表示式：

這就是我們今天所知道的機械動動能公式的由來。當然，他的推導過程既用到了牛頓定律，也引入了功能轉換關係，與前述的推導過程有一定的類似。

在經典力學中，動能的表示式是質量乘以速度的平方再除以二，動能和勢能統稱機械能，為了得到動能的表示式，我們首先需要定義功。

一個力作用於物體，如果物體在力的方向上移動了一段距離，我們說這個力對物體做了正功，物體的動能將增加。反之，如果力的方向和物體移動的方向相反，力就對物體做了負功，物體的動能將減少。

如果物體受到很多力的作用，我們可以分別考慮力對物體的作功然後再把它們加起來，或者考慮合力對物體的作功。

考慮到力和物體的位移都是向量（都有方向），我們把力對物體的作功定義為點乘：

上式中F表示力，dx表示物體在dt時間內的位移，我們還可以定義力對物體做功的功率，功率的定義是單位時間內的作功，即dW/dt，

考慮到dx/dt是速度，所以力對速度的點乘就是功率。

為了簡單考慮，以下假設物體質量為m，只受到一個力F的作用（或者我們把這個力想象為合力），沿著某個路徑從a運動到b，這需要把所有的dW加起來，寫成積分的形式：

我們假設物體在三維空間運動，所以力和位移的微元都是三維向量，

我們現在繼續來計算上面的積分，

在以上推導過程中，我們使用了牛頓第二定律，F=ma，a是加速度，a=dv/dt。

最終我們得到了動能Ek的表示式：

我們可以做個小估算，一個質量為70kg的人以10米每秒的速度奔跑，他的動能是：

假設這個人用10秒時間從靜止奔跑到10米每秒的速度，那麼這個人的平均功率是350W，正好是一馬力（746W）的一半左右。

動能公式w＝½mv²的推導，其實很簡單。在自由落體實驗中，勢能損耗可轉化為動能，可用公式表示：FL=½mv² 。換算過程：F=ma. L=½at² , a是加速度. F是力. L是落差或受力距離，t是受力時間，FL=ma×½at²=½ma²t²=½m(at)²=½mv² 。我這樣推算合理不？

答：動能公式有相對論動能公式和牛頓力學動能公式，其中後者是前者在宏觀低速下的近似。

牛頓力學的動能公式，主要根據牛頓第二定律（f=ma）推匯出來，推導過程如下:

其中力對位移的積分，是力對物體做功的定義，最後即可得到牛頓力學的動能公式。

該公式的含義是，一個60千克的人，以7m/s的速度奔跑的話，他的動能大小為：

Ek=mv^2/2=60*7^2/2=1470焦耳。

但是在相對論力學中，動能公式有著更深層的含義，物體的動能可以表示成“物體因運動增加的相對論質量"，大小可以由質能方程給出：

雖然在牛頓力學和相對論力學中，動能公式的形式不一樣，但是兩者是統一與和諧的，在物體運動速度遠小於光速時，相對論動能公式，即可退化為牛頓力學動能公式。

如果要說本質的話，相對論動能公式，才是對物體動能大小的精確描述，而牛頓力學只是近似公式而已。

咱們現在推導動能公式是很容易的，但歷史上這個動能的定義以及是何人推導的，我也沒有查過，只是略微知道當時對於動量和動能的使用有過一段爭議，這就不多說了。

第一幅圖：

這個就是最常見的微積分推導，但原理就是力做功：力乘位移

第二幅圖：

第三幅圖：

這是相對論中的動能表示式，是不是有些複雜，不過這個在很多正常情況下是用不著的，因為在低速狀態下，它能退化為上面的動能公式。

但由於高速下由於存在狹義相對論的質量增加效應，這裡動能就變成了物體運動時的總能量減去物體靜止時的總能量。

我所知道的東西，根人類根大家，是有區別的，我只知道，動能是用心血和汗水，才能實現，我真的不知道，這麼深奧的東西，別的星球上的人是怎麼知道並且還活生生地實現，真的太不可思議了。沒有很深的底子沒有強有力的動力底氣，是很難實現的。我很想很想見到那個外星女人。