這裡，班長試圖不用公式來解釋這個問題。我先把你的圖片，分成1-2-3-4，然後再單獨說。

就是對於連續的、週期訊號，我們可以用不同頻率分量的正弦訊號疊加去表示。如果我們已頻率為橫座標軸，正弦函式的強度為縱座標軸，我們畫出的就是頻域影象。很明顯這個頻域影象是離散的、非週期的。

就像一束白光經過三稜鏡分解了一樣。我們週期函式可以透過一組正交的指數訊號進行表示。

對於連續的、非週期的訊號，我們可以認為其時間軸上的週期為無窮大，這樣就可以套用“傅立葉級數”的定義了。此時，週期無無窮大，那麼在頻域中，每個頻率間隔會變成無窮小，整個頻域影象變成連續的了。（這裡如果想詳細瞭解，可以看我的文章）

我們在推導取樣定理的時候，如果對於時間訊號進行取樣，相當於是在頻域進行週期延拓。所以整個就是我們看到的圖2的影象。所以此時頻域影象是連續的、週期的。

到這裡，我們發現，如果時域/頻域是週期的，那麼頻域/時域就是離散的；如果時域/頻域連續的，那麼頻域/時域連續是非週期的。

我們對圖3的頻域進行取樣，那麼必然在時域出現週期延拓。這就是DFS離散傅立葉級數。

這個時候，時域和領域都是離散訊號，但都是週期無限的。如果我們只取一個區間訊號去考慮，如週期為N，那麼取0到N-1，此時就得到了DFT，離散傅立葉變換。

很明顯，DFT在時域頻域都是離散的，而且有限的訊號，計算機可以方便的進行處理了。後續很多科學家為了減少計算機的運算量，推出了很多快速DFT演算法，這就是FFT。