問題裡一共包括3個問題：

1）什麼時候都要計算

轉動動能和平動動能是兩種不同的動能，需要加起來才是動能，也就是說動能有兩個“component”，“translational component"和“rotational component”。也就是說，剛體的“一般運動”都要同時考慮這兩個component；

2）為什麼有時候不計算

剛體的“一般運動”有4種特殊情況，

①如ψ、θ、φ都不變，表示剛體的平動；

②如基點不動，則為剛體定點轉動；

④如θ=φ=0，又xO"、yO"都不變，則為剛體螺旋運動

題主的“杆有一端固定住，受重力作用甩下來”屬於情況（2）“剛體定點轉動”，只算轉動動能因為“translational component”為0，和繞中心轉動的圓盤等是同一種情況，不是不計算，而是經計算認為是0。

而車上的小杆是情況（3）即“剛體平面運動”，需要同時考慮這“平動”和“轉動”兩個component。

3）車上的小杆看起來計算轉動兩次？

有二個方法求稱"cart+inverted pendulum"的動能。他們求出來的結果應該是一致的。

A方法是"剛體平面運動的分解是：繞基點O"(轉動點)的轉動+質心隨基點O"的牽連平動"；

按照這個方法結果很簡單，直接就是Ek=(1/2) * m(x"(t)^2 +(2/3)*mL^2*θ"(t)^2; 注意這裡L是一半細杆長度。

A方法沒有“總覺得裡面轉動動能算了兩次”的感覺。

B方法是按質心算(柯尼希定理)，也就是"算平動動能時候，杆的速度是小車的速度加上杆的轉動速度在水平方向上的分速度，而且還算了杆的轉動速度在豎直方向上的分速度產生的動能”。特別注意這裡“轉動慣量”是杆繞質心的轉動慣量，也就是一般例題上的（1/12）*m*L^2; 注意代入L=2L,

“總覺得裡面轉動動能算了兩次”在化簡中被化掉，也就是(1/2)m(l*θ"cosθ)^2+(1/2)m(l*θ"sinθ)^2 + (1/6)m(lθ")^2 = (1/2)m(l*θ")^2 *[(cosθ)^2+(sinθ)^2]+ (1/6)m(lθ")^2 = (1/2)m(l*θ")^2 + (1/6)m(lθ")^2 = (2/3)*m(l*θ")^2。經過數學化簡，結果是一致的。

也就是說： 1）這裡的“算平動動能”如果從轉動點看並不是純粹的平動動能而是疊加了一部分轉動動能；2）這一部分“疊加了的轉動動能”值剛好就是繞轉動點轉動動能 - 繞質心轉動動能。所以沒有“重複計算”。