用 範疇 A 中的 態射 A → B 來 對應 全序集 X 中的 偏序關係 A ≤ B，
用 A 中的 圖 D: J → A（J 為圖的 索引範疇） 來 對應 X 中的 子集 E，
用 以 A 為頂點 以 D 為基礎 的 錐 τ(i): A → D(i), i ∈ ObJ （以 B 為頂點 以 D 為基礎 的餘錐 σ: D(i) → B） 來對應 E 的上（下）界，
用 最大（最小）的 錐 τ（餘錐 σ），來對應 下確界 inf E（上確界 sup E），
從而 成功的引入了 極限 _ḷim D( J ) = τ（餘極限 lim_ D( J ) = σ ）的概念。
由於 範疇 比 全序集 範圍大，因此 極限，是比下確界更寬鬆，也就有更豐富的特點；另外，在引入極限過程中 求取 最大 錐 的過程 和 泛對映 的定義 非常類似，這就預示著 極限 和 伴隨有 關聯，上一篇回答最後，也給出了聯絡 極限 和 伴隨的 定理；接下來我們就這兩方面繼續討論。
先澄清上篇，由於匆忙，回答沒有說清楚的地方：
考慮 圖 D: J → A 的一個 錐 τ: ObJ → MorA ，它和 自然變換的形式完全相同，所有必然 它是 某個 函子 到 圖函子 D 的自然變換。有，錐的要求：
τ(i) ∈ Hom(A, D(i))
如果 定義 以 頂點 A 為值 的常函子：
constᴀ: J → A，constᴀ(i) = A, constᴀ(f) = 1ᴀ
則 錐的要求 可改寫為：
τ(i) ∈ Hom(constᴀ(i), D(i))
這樣，錐 的定義就完全 符合 自然變換的 定義，於是 錐就是 常函子 constᴀ 到 圖函子 D 的自然變換：
τ: constᴀ → D
為了方便，我們令 A = constᴀ，則 錐 記為：
τ: A → D
類似的 餘錐 σ 是 圖函子 D 到 常函式 constʙ 的 自然變換，記為：
σ: D → B
在《數學分析》課程中，不管是 實數集 的 下確界性，即，
有下界的 子集 必有下確界；
還是 Cauchy列的性質，即，
Cauchy列 必有極限；
都是 實數 完備性的 體現。
我們 將 實數 完備性概念可以引入範疇，如下：
如果 範疇 A 中的 任意 圖 都有極限 ，則稱 A 是 完備的。
下面，我們來透過構造極限的例子，來說明 Set 對於 序列的 完備性。
一個皮亞諾算術系統可定義如下：
0 ∈ ω
後繼運算 s: ω → ω\{0}
於是，令：
1 = s(0), 2 = ss(0), 3 = sss(0)， ...
這樣就構成了 自然集 ω ，同時，整個算術系統 也是一個範疇，記為 ω ：
當然 ω 的對偶範疇 ωᵒᵖ 同樣也是一個範疇：
其中，p: ω\{0} → ω 稱為 前驅運算。
和《數學分析》中的序列定義類似，以 ω 或 ωᵒᵖ 為圖索引的 圖 就稱為 序列。
考慮 序列 D: ωᵒᵖ → Set，對於每個 自然數 i, 以及 前驅 p: s(i) → i, 令 Dᵢ = D(i), pᵢ = D(p)，則 這個序列 {Dᵢ } 的笛卡爾積：
∏ᵢDᵢ = {(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) | xᵢ ∈ Dᵢ}
以及下標對映：
πᵢ(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) = xᵢ
構成 一個 錐形；
但 ∏ᵢDᵢ 並非 序列 {Dᵢ } 的 錐，因為 錐 還要求，滿足（令 i+1 = s(i)）：
pᵢπᵢ₊₁(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) = πᵢ (x₀, x₁, ..., xᵢ, ... )
即，
pᵢ(xᵢ₊₁) = xᵢ
所有滿足上面要求 的 ∏ᵢDᵢ 中的 元素 構成 一個 集合，記為：
L = {(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) ∈ ∏ᵢDᵢ | pᵢ(xᵢ₊₁) = xᵢ }
則 L 就是 {Dᵢ } 的 一個錐 的頂點，這個錐是：
q: L → D, q(i) = pᵢ
考慮 {Dᵢ } 的任意一個 錐 τ: A → D，對於任意 a ∈ A，有 τ(i)(a) ∈ Dᵢ ，並且 由錐的條件 知 pᵢ(τ(i+1)(a)) = τ(i)(a) , 於是：
(τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... ) ∈ L
這樣就存在唯一的對映：
h: A → L, h(a) = (τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... )
使得：
q(i)h(a) = q(i)(τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... ) = pᵢ(τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... ) = τ(i)(a)
q(i)h = τ(i)
於是，q 是就是 序列 {Dᵢ } 的極限，L 是 極限的頂點，記為：
lim Dᵢ = L
這說明，在 集合範疇 Set 中序列必然有極限，即，Set 對於 序列 是 完備的。
實際上，可以證明：
任意 小圖 D: J → Set, J ∈ ObCat（即，J 是小范疇） 都存在極限，於是，稱 Set 是（小）完備的。
這使得以 集合 為基礎的 範疇，例如： Grp 也都是 （小）完備的。
另外，根據前一篇回答 最後的定理，我們還可以藉由 極限的 存在性，來 推 伴隨的 存在性。
考慮，二元實函式 f: R × R → R，f(x, y) = x - y，繪製成如下圖左：
對於 每個 XY 座標平面 上的 點 (x, y) 都會 物件 Z 軸上的 一個點 z = x - y，這樣 所有的 點 (x, y, z = x - y) 構成一個平面。
再考慮，以一元實函式為值函式 g: R → (R → R), g(x) = gₓ, gₓ(y) = x - y，繪製成如上圖右，對於每個 X 軸 上的 點 x，都會有一個 和 YZ 座標平面平行的 直線 gₓ(y) = x - y 與之對應，這些 直線 構成了一個平面。
以上，兩種情況，分別 由 點 和 直線 構成的 平面，在幾何上是同一個平面，這說明 兩個 函式 等價，即，f = g，而代數上有：
f(x, y) = x - y = gₓ(y) = g(x)(y)
也證明了這一點。
我們稱 g 為 f 的 柯里化 函式。
對於任意的 二元對映 f : A × B → C, f (x, y)，我們都可以 得到 f 的 柯里化 對映：
g: A → (B → C), g(x) = gₓ, gₓ = f(x, y)
以上，過程稱為 對 f 進行柯里化。
反過來，給定 任意 柯里化對映 g: A → (B → C), g(x) = gₓ, 我們也都可以得到 g 對應的 二元對映：
f : A × B → C, f (x, y) = g(x)(y)
以上，過程稱為 對 g 進行反柯里化。
柯里化 和 反柯里化 過程 可以推廣到 多元的情況，而且，這還說明 多元函式 和 柯里化函式 是一一對應的。
我們將 集合 B 到 C 的 全體 對映，記為 Cᴮ，稱為 笛卡爾冪，於是上面的 柯里化對映 g 其實就是 A 到 笛卡爾冪 Cᴮ 的對映 g: A → Cᴮ。
現在將對映升級為函子，F: A × B → C，對 F 進行柯里化的結果為 A 到 函子範疇 Funct(B, C) 的函式 G: A → Funct(B, C)，顯然 ObFunct(B, C) ⊆ ObCᴼᵇᴮ，為了方便，我們將 Funct(B, C) 記為 Cᴮ。
範疇 A 中，一個帶引數的 圖 定義 為 D: J × P → A，其中 J 是 圖的索引範疇，P 是圖的引數範疇，對於 每一個引數 p ∈ ObP，都有一個 A 的 圖 Dp: J → A， Dp = D(i, p) 與之對應。如果 每個 Dp 都有極限 _lim Dp(J) = τp，設 Ap 是 τp 的頂點，即，tp: Ap → Dp ，我們 則稱 τp 為 帶引數 p 的極限。
由於，對於每個 p ∈ ObP 都有一個 Ap ∈ ObA 與之對應，於是我們可以找到一個函子 L: P → A， 讓 L 滿足：
p ↦ Ap
再考慮 D: J × P → A 的柯里化函子 R: J → Aᴾ ，則 R 可以看成 是 函子範疇 Aᴾ 中的 J 型圖，而 L 顯然是 Aᴾ 的物件。
經過數學家研究發現 L 恰恰是 極限 _lim R(J) = τ 的 頂點，即， τ: L → R。
下面 我們揭示 兩個 極限 錐 τ 和 τp 之間的關係：
首先，對於每個 p ∈ ObP 我們可以定義 一個特殊的 函子 Ep: Aᴾ → A，如下：
對於 函子範疇 Aᴾ 中 任意 物件（函子） F: P → A ，規定 Ep(F) = F(p)，
對於 函子範疇 Aᴾ 中 任意 態射（自然變換） α: ObP → MorA, 規定 Ep(α) = α(p)，
然後，考慮 複合函子 EpR。顯然，對於任意 i ∈ ObJ， 利用 柯里化的等價性，有：
EpR(i) = R(i)(p) = D(i, p) = Dp(i)
這說明：
EpR = Dp ①
於是 τp 等價於：
τp: Ap → EpR
接著，我們回憶 前一篇介紹的 圖常函子 K: A → Aᴶ , K 滿足：
K(A)(i) = A
K(f)(i) = f
於是，有
KL: P → Aᴶ , KL(p) = L，
這說明 KL 就是 以 L 為 值的 P 到 Aᴶ 的 常函子，即， τ 就是自然變換：
τ: KL → R
同時，對於 每個 p 有：
KL(p) = Ap
故， tp 又等價於：
tp: KL(p) → EpR
另一方面，① 意味者，如果，令 E(p) = Ep，則，對於 每個 p ∈ ObP ，都有：
E(p)R(i) = Dp(i) = R(i)(p)，
ER = R
於是，tp 最終等價於：
tp: KL(p) → R(-)(p)
這樣，就有了 τ 和 τp 的關係：
τ(p) = τp
綜上，我們得到如下定理：
對於 圖 D: J × P → A，如果 帶引數的極限 _lim Dp(J) = τp, tp: Ap → Dp 存在，則 以 L: P → A, L(p) = Ap 為頂點的 錐：
τ: KL → R，τ(p) = τp,
是 D 的柯里化圖 R: J → Aᴾ 的 在函子範疇 Aᴾ 中 的 極限。
如果 範疇 A 同時 對 笛卡爾積 和 笛卡爾冪 封閉，則稱 A 為 笛卡爾封閉 範疇。
在 笛卡爾封閉範疇 A 中，對於 任意物件 A, B, C ∈ ObA 都有 A × B ∈ ObA，Cᴮ ∈ ObA，進而又因為，對於任意 態射 f ∈ Hom(A × B, C) 有 一一對應 的柯里化態射 g ∈ Hom(A, Cᴮ)，所以就得到如下雙射：
Hom(A × B, C) ≌ Hom(A, Cᴮ)
升級到小范疇組成的範疇 Cat 中，對於 其中 任意 函子 F ∈ Hom(A × B, C) 則有 一一對應的 柯里化函子 G ∈ Hom(A, Cᴮ) ，於是有 雙射函子：
前面回答中，我們已經知道 在 笛卡爾封閉 範疇 中 △ ⊣ × 是一對伴隨。 下面給出另外一對伴隨：
給定 物件 B ∈ ObA，可以定義函子：
F: A → A, A ↦ A × B
U: A → A, C ↦ Cᴮ
因為，對於任意 A ∈ ObA 和 C ∈ ObA 都存在 雙射：
Hom(F(A) , C) = Hom(A × B, C) ≌ Hom(A, Cᴮ) = Hom(A , U(C))
可以驗證雙射的自然性（略），這樣就滿足伴隨定義2的要求，故，F ⊣ U 是 一對伴隨。
用 範疇 A 中的 態射 A → B 來 對應 全序集 X 中的 偏序關係 A ≤ B，
用 A 中的 圖 D: J → A（J 為圖的 索引範疇） 來 對應 X 中的 子集 E，
用 以 A 為頂點 以 D 為基礎 的 錐 τ(i): A → D(i), i ∈ ObJ （以 B 為頂點 以 D 為基礎 的餘錐 σ: D(i) → B） 來對應 E 的上（下）界，
用 最大（最小）的 錐 τ（餘錐 σ），來對應 下確界 inf E（上確界 sup E），
從而 成功的引入了 極限 _ḷim D( J ) = τ（餘極限 lim_ D( J ) = σ ）的概念。
由於 範疇 比 全序集 範圍大，因此 極限，是比下確界更寬鬆，也就有更豐富的特點；另外，在引入極限過程中 求取 最大 錐 的過程 和 泛對映 的定義 非常類似，這就預示著 極限 和 伴隨有 關聯，上一篇回答最後，也給出了聯絡 極限 和 伴隨的 定理；接下來我們就這兩方面繼續討論。
錐和自然變換先澄清上篇，由於匆忙，回答沒有說清楚的地方：
考慮 圖 D: J → A 的一個 錐 τ: ObJ → MorA ，它和 自然變換的形式完全相同，所有必然 它是 某個 函子 到 圖函子 D 的自然變換。有，錐的要求：
τ(i) ∈ Hom(A, D(i))
如果 定義 以 頂點 A 為值 的常函子：
constᴀ: J → A，constᴀ(i) = A, constᴀ(f) = 1ᴀ
則 錐的要求 可改寫為：
τ(i) ∈ Hom(constᴀ(i), D(i))
這樣，錐 的定義就完全 符合 自然變換的 定義，於是 錐就是 常函子 constᴀ 到 圖函子 D 的自然變換：
τ: constᴀ → D
為了方便，我們令 A = constᴀ，則 錐 記為：
τ: A → D
類似的 餘錐 σ 是 圖函子 D 到 常函式 constʙ 的 自然變換，記為：
σ: D → B
範疇的完備性在《數學分析》課程中，不管是 實數集 的 下確界性，即，
有下界的 子集 必有下確界；
還是 Cauchy列的性質，即，
Cauchy列 必有極限；
都是 實數 完備性的 體現。
我們 將 實數 完備性概念可以引入範疇，如下：
如果 範疇 A 中的 任意 圖 都有極限 ，則稱 A 是 完備的。
下面，我們來透過構造極限的例子，來說明 Set 對於 序列的 完備性。
一個皮亞諾算術系統可定義如下：
0 ∈ ω
後繼運算 s: ω → ω\{0}
於是，令：
1 = s(0), 2 = ss(0), 3 = sss(0)， ...
這樣就構成了 自然集 ω ，同時，整個算術系統 也是一個範疇，記為 ω ：
當然 ω 的對偶範疇 ωᵒᵖ 同樣也是一個範疇：
其中，p: ω\{0} → ω 稱為 前驅運算。
和《數學分析》中的序列定義類似，以 ω 或 ωᵒᵖ 為圖索引的 圖 就稱為 序列。
考慮 序列 D: ωᵒᵖ → Set，對於每個 自然數 i, 以及 前驅 p: s(i) → i, 令 Dᵢ = D(i), pᵢ = D(p)，則 這個序列 {Dᵢ } 的笛卡爾積：
∏ᵢDᵢ = {(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) | xᵢ ∈ Dᵢ}
以及下標對映：
πᵢ(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) = xᵢ
構成 一個 錐形；
但 ∏ᵢDᵢ 並非 序列 {Dᵢ } 的 錐，因為 錐 還要求，滿足（令 i+1 = s(i)）：
pᵢπᵢ₊₁(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) = πᵢ (x₀, x₁, ..., xᵢ, ... )
即，
pᵢ(xᵢ₊₁) = xᵢ
所有滿足上面要求 的 ∏ᵢDᵢ 中的 元素 構成 一個 集合，記為：
L = {(x₀, x₁, ..., xᵢ, ... ) ∈ ∏ᵢDᵢ | pᵢ(xᵢ₊₁) = xᵢ }
則 L 就是 {Dᵢ } 的 一個錐 的頂點，這個錐是：
q: L → D, q(i) = pᵢ
考慮 {Dᵢ } 的任意一個 錐 τ: A → D，對於任意 a ∈ A，有 τ(i)(a) ∈ Dᵢ ，並且 由錐的條件 知 pᵢ(τ(i+1)(a)) = τ(i)(a) , 於是：
(τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... ) ∈ L
這樣就存在唯一的對映：
h: A → L, h(a) = (τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... )
使得：
q(i)h(a) = q(i)(τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... ) = pᵢ(τ(0)(a), τ(1)(a), ..., τ(i)(a), ... ) = τ(i)(a)
即，
q(i)h = τ(i)
於是，q 是就是 序列 {Dᵢ } 的極限，L 是 極限的頂點，記為：
lim Dᵢ = L
這說明，在 集合範疇 Set 中序列必然有極限，即，Set 對於 序列 是 完備的。
實際上，可以證明：
任意 小圖 D: J → Set, J ∈ ObCat（即，J 是小范疇） 都存在極限，於是，稱 Set 是（小）完備的。
這使得以 集合 為基礎的 範疇，例如： Grp 也都是 （小）完備的。
另外，根據前一篇回答 最後的定理，我們還可以藉由 極限的 存在性，來 推 伴隨的 存在性。
柯里化考慮，二元實函式 f: R × R → R，f(x, y) = x - y，繪製成如下圖左：
對於 每個 XY 座標平面 上的 點 (x, y) 都會 物件 Z 軸上的 一個點 z = x - y，這樣 所有的 點 (x, y, z = x - y) 構成一個平面。
再考慮，以一元實函式為值函式 g: R → (R → R), g(x) = gₓ, gₓ(y) = x - y，繪製成如上圖右，對於每個 X 軸 上的 點 x，都會有一個 和 YZ 座標平面平行的 直線 gₓ(y) = x - y 與之對應，這些 直線 構成了一個平面。
以上，兩種情況，分別 由 點 和 直線 構成的 平面，在幾何上是同一個平面，這說明 兩個 函式 等價，即，f = g，而代數上有：
f(x, y) = x - y = gₓ(y) = g(x)(y)
也證明了這一點。
我們稱 g 為 f 的 柯里化 函式。
對於任意的 二元對映 f : A × B → C, f (x, y)，我們都可以 得到 f 的 柯里化 對映：
g: A → (B → C), g(x) = gₓ, gₓ = f(x, y)
以上，過程稱為 對 f 進行柯里化。
反過來，給定 任意 柯里化對映 g: A → (B → C), g(x) = gₓ, 我們也都可以得到 g 對應的 二元對映：
f : A × B → C, f (x, y) = g(x)(y)
以上，過程稱為 對 g 進行反柯里化。
柯里化 和 反柯里化 過程 可以推廣到 多元的情況，而且，這還說明 多元函式 和 柯里化函式 是一一對應的。
我們將 集合 B 到 C 的 全體 對映，記為 Cᴮ，稱為 笛卡爾冪，於是上面的 柯里化對映 g 其實就是 A 到 笛卡爾冪 Cᴮ 的對映 g: A → Cᴮ。
現在將對映升級為函子，F: A × B → C，對 F 進行柯里化的結果為 A 到 函子範疇 Funct(B, C) 的函式 G: A → Funct(B, C)，顯然 ObFunct(B, C) ⊆ ObCᴼᵇᴮ，為了方便，我們將 Funct(B, C) 記為 Cᴮ。
帶引數的極限範疇 A 中，一個帶引數的 圖 定義 為 D: J × P → A，其中 J 是 圖的索引範疇，P 是圖的引數範疇，對於 每一個引數 p ∈ ObP，都有一個 A 的 圖 Dp: J → A， Dp = D(i, p) 與之對應。如果 每個 Dp 都有極限 _lim Dp(J) = τp，設 Ap 是 τp 的頂點，即，tp: Ap → Dp ，我們 則稱 τp 為 帶引數 p 的極限。
由於，對於每個 p ∈ ObP 都有一個 Ap ∈ ObA 與之對應，於是我們可以找到一個函子 L: P → A， 讓 L 滿足：
p ↦ Ap
再考慮 D: J × P → A 的柯里化函子 R: J → Aᴾ ，則 R 可以看成 是 函子範疇 Aᴾ 中的 J 型圖，而 L 顯然是 Aᴾ 的物件。
經過數學家研究發現 L 恰恰是 極限 _lim R(J) = τ 的 頂點，即， τ: L → R。
下面 我們揭示 兩個 極限 錐 τ 和 τp 之間的關係：
首先，對於每個 p ∈ ObP 我們可以定義 一個特殊的 函子 Ep: Aᴾ → A，如下：
對於 函子範疇 Aᴾ 中 任意 物件（函子） F: P → A ，規定 Ep(F) = F(p)，
對於 函子範疇 Aᴾ 中 任意 態射（自然變換） α: ObP → MorA, 規定 Ep(α) = α(p)，
然後，考慮 複合函子 EpR。顯然，對於任意 i ∈ ObJ， 利用 柯里化的等價性，有：
EpR(i) = R(i)(p) = D(i, p) = Dp(i)
這說明：
EpR = Dp ①
於是 τp 等價於：
τp: Ap → EpR
接著，我們回憶 前一篇介紹的 圖常函子 K: A → Aᴶ , K 滿足：
K(A)(i) = A
K(f)(i) = f
於是，有
KL: P → Aᴶ , KL(p) = L，
這說明 KL 就是 以 L 為 值的 P 到 Aᴶ 的 常函子，即， τ 就是自然變換：
τ: KL → R
同時，對於 每個 p 有：
KL(p) = Ap
故， tp 又等價於：
tp: KL(p) → EpR
另一方面，① 意味者，如果，令 E(p) = Ep，則，對於 每個 p ∈ ObP ，都有：
E(p)R(i) = Dp(i) = R(i)(p)，
即，
ER = R
於是，tp 最終等價於：
tp: KL(p) → R(-)(p)
這樣，就有了 τ 和 τp 的關係：
τ(p) = τp
綜上，我們得到如下定理：
對於 圖 D: J × P → A，如果 帶引數的極限 _lim Dp(J) = τp, tp: Ap → Dp 存在，則 以 L: P → A, L(p) = Ap 為頂點的 錐：
τ: KL → R，τ(p) = τp,
是 D 的柯里化圖 R: J → Aᴾ 的 在函子範疇 Aᴾ 中 的 極限。
笛卡爾封閉範疇如果 範疇 A 同時 對 笛卡爾積 和 笛卡爾冪 封閉，則稱 A 為 笛卡爾封閉 範疇。
在 笛卡爾封閉範疇 A 中，對於 任意物件 A, B, C ∈ ObA 都有 A × B ∈ ObA，Cᴮ ∈ ObA，進而又因為，對於任意 態射 f ∈ Hom(A × B, C) 有 一一對應 的柯里化態射 g ∈ Hom(A, Cᴮ)，所以就得到如下雙射：
Hom(A × B, C) ≌ Hom(A, Cᴮ)
升級到小范疇組成的範疇 Cat 中，對於 其中 任意 函子 F ∈ Hom(A × B, C) 則有 一一對應的 柯里化函子 G ∈ Hom(A, Cᴮ) ，於是有 雙射函子：
Hom(A × B, C) ≌ Hom(A, Cᴮ)
前面回答中，我們已經知道 在 笛卡爾封閉 範疇 中 △ ⊣ × 是一對伴隨。 下面給出另外一對伴隨：
給定 物件 B ∈ ObA，可以定義函子：
F: A → A, A ↦ A × B
U: A → A, C ↦ Cᴮ
因為，對於任意 A ∈ ObA 和 C ∈ ObA 都存在 雙射：
Hom(F(A) , C) = Hom(A × B, C) ≌ Hom(A, Cᴮ) = Hom(A , U(C))
可以驗證雙射的自然性（略），這樣就滿足伴隨定義2的要求，故，F ⊣ U 是 一對伴隨。