大家的做法好像都有點麻煩……我用高中（有點競賽？）的方法解答。

設四個點為 C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 分別位於直徑 A₁B₁ , A₂B₂ , A₃B₃ , A₄B₄ 上。不妨設四條直徑各不相同，且四個點都不在圓心 O 處。

易得 Cₘ 位於半徑 OAₘ 與半徑 OBₘ 的機率都是 1/2 ，而 C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 共半圓等價於所在的四條半徑相鄰！

於是我們轉化為了古典概型：在四條直徑中各選一條半徑，則四條半徑相鄰的機率是？

用古典概型公式：

P = Ω / Ω₀ = (2×4) / (2^4) = 1/2

注意到，這個機率的大小與四條直徑的位置沒有關係！所以當四個點等機率密度分佈在圓內時，落在同一個半圓內的機率是 1/2 。

那麼我們可以輕鬆地推廣到 n 個點的情況，只要轉化為 2n 條半徑的古典概型問題：

Pₙ = Ω / Ω₀ = 2n / (2^n) = n/2^(n-1)

圓上任選三點組成三角形，這個三角形是銳角、鈍角和直角三角形的機率分別是多少？

圓周上三個點構成鈍角三角形，其實就是在同一個半圓上！

@李忠相 在我回答的前一天發了一篇文章

李忠相：圓中四鴨屬於一個半圓的機率

我們似乎發現了這個問題的原型：

他的學生 Lsh 給出了相似的做法：

這個“共軛變換”是等距變換，所以是保測度的，點落在變換前後位置的可能性是相同的！因此這個做法是非常棒的。

結論：