先說二進位制表示無理數。

就如同十進位制小數點後第n位表示 一樣，二進位制小數點後第n位表示 。

以e為例：

，比e大了不到0.0005，很接近了。

那麼

e的二進位制值表示近似於10.10111。

用同樣的方法，也可以表示根號2或者π之類的無理數。

但是由於無理數不能用整數的分式表達，所以用任何整數進製表示無理數都不可能得到更“好”的形式，一定是一個無限不迴圈小數。

近似地，我們可以把進位制的定義從整數擴充套件到實數。

例如π進位制，逢π進1，那麼顯然π在π進位制裡是整數10。

對於一個π進位制數，比如112.212，它對應著實數里的 ：

而這樣一個“π進位制有理數”寫成十進位制幾乎必定是一個無理數。

就是這樣。

題主問“十進位制裡表示麻煩的數字會不會在其他進位制裡更簡潔”，這是顯然的。計算機領域廣泛應用八進位制和十六進位制的計數，就是因為比十進位制更簡潔。但是就我個人的瞭解，我並不知道無理數進位制甚至超越數進位制在實際應用中有什麼意義（除了能把常用無理數變成整數以外）。但是數學就是這樣的一門學科，或許在未來的某個研究領域將會使用到這種計數方式罷（